Задача 10-1

Условие

Республиканская олимпиада 2014 10 класс № 1

Для описания упругих свойств веществ используются различные характеристики, одной из которых является модуль Юнга

. Рассмотрим небольшой брусок в форме параллелепипеда. Пусть перпендикулярно одной из граней с площадью

к бруску приложены две равные по модулю и противоположные по направлению силы

, под действием которых длина бруска увеличилась на малую величину

(при длине в недеформированном состоянии

). В качестве меры возникающих сил упругости используется механическое напряжение

, равное отношению нормальной силы упругости к площади поперечного сечения

, мерой деформации служит относительная деформация

. Связь между этими величинами выражается законом Гука

Важно отметить, что модуль Юнга зависит только от свойств материала, а не от размеров бруска. Модуль Юнга является важной характеристикой вещества, так, например, скорость звука в веществе также зависит от модуля Юнга и определяется формулой

где

- плотность вещества.

В данной задаче рассматривается тонкий цилиндр длиной и площадью поперечного сечения , изготовленный из материала с модулем Юнга и плотности .

1.1 Модуль Юнга и коэффициент жесткости.

Цилиндр растягивают, прикладывая к нему постоянные силы, направленные вдоль его оси. В 9 классе вы использовали следующую формулу закона Гука для силы упругости
$у п р$
где - удлинение цилиндра, - коэффициент жесткости.

1.1.1 Выразите коэффициент жесткости цилиндра через его геометрические размеры и модуль Юнга.

1.1.2 Пусть сила упругости растянутого цилиндра равна . Выразите энергию упругих деформаций цилиндра через его модуль Юнга и относительную деформацию . Найдите объемную плотность энергии упругих деформаций.

1.2 Деформации и движение.

К торцам цилиндра прикладывают две силы, направленные вдоль оси цилиндра и равномерно распределенные по его торцам: к правому торцу , к левому . Совместим ось с осью

цилиндра, а ее начало с левым торцом. В части 1.2 рассмотрите три случая: а) ; б) ; в) .

1.2.1 Постройте графики зависимости относительной деформации от координаты .

1.2.2 Найдите максимальное удлинение стержня.

1.2.2 Найдите максимальную энергию деформации стержня.

1.3 Разгон и деформации

Найденное Вами распределение деформаций не устанавливается мгновенно, требуется некоторое время, чтобы волна деформаций распространилась по стержню. Пусть к правому торцу стержня в момент времени прикладывают постоянную силу , при этом левый конец стержня остается свободным.

1.3.1 Оцените время установления стационарного распределения деформаций, в стержне после начала его движения.

1.3.2 Оцените, через какой промежуток времени кинетическая энергия стержня станет равной энергии ее упругих деформаций.

Самостоятельно предложите простую модель распространения деформаций в стержне в процессе его разгона и воспользуйтесь ею.

Математическая подсказка.

Площадь под параболой на участке от 0 до равна (это вычислил еще Архимед!)