1.1 Модуль Юнга и коэффициент жесткости.

1.1.1 Выразим силу упругости из определения механического напряжения и подставим в полученное выражение закон Гука в виде (1), тогда

Из (1) следует, что коэффициент жесткости цилиндра выражается через его геометрические размеры следующим образом

1.1.2 Энергия упругих деформаций выражается по известной формуле (Физика – 9, с. 168). Во избежание путаницы с модулем Юнга будем в дальнейшем обозначать потенциальную энергию упругих деформаций через

Подставляя в (3) полученное выражение (2) для коэффициента жесткости, находим

– где – объём рассматриваемого цилиндра.
Для нахождения объёмной плотности энергии упругих деформаций (т.е. энергии упругих деформаций, заключенной в единице объёма деформированной среды) необходимо взять отношение (4) к рассматриваемому объёму

Как следует из (5), плотность энергии упругих деформаций изменяется от точки к точке, если изменяется механическое напряжение или относительная деформация в образце.

2. Деформации и движение.

Поясним сначала, что следует понимать под относительной деформацией , которая является функцией координаты.

Свяжем ось со стержнем, начало оси совместим с левым торцом стержня (см. рис). Мысленно разобьем недеформированный стержень на тонкие слои одинаковой толщины . Пронумеруем эти слои индексом . Выделим один из этих слоев, координату которого обозначим .

Теперь представим, что стержень подвергся неоднородной деформации, например,
удлинению под действием собственного веса. Тогда границы каждого слоя сместились,
причем на разные расстояния. Введем новую неподвижную ось , ось же , по-
прежнему, считаем связанной со стержнем, иными словами будем считать, что она
деформировалась вместе со стержнем. Пусть координата левой стороны выделенного слоя
приняла значение , а его толщина стала равной . Тогда абсолютная деформация
этого слоя равна , соответственно относительная деформация

Если толщины выделенных слоев считать бесконечно малыми, то вместо номера слоя ,
можно его характеризовать координатой и говорить об относительной деформации, как
функции .

Зная относительную деформацию как функцию
координаты, не сложно найти удлинение всего стержня.
Так удлинение выделенного участка равно ,
а полное удлинение находится суммированием по всем
слоям, т.е.

Если слои считать бесконечно тонкими, а деформацию
функцией координаты, то полное удлинение станет
равным площади под графиком зависимости .
Также из формулы можно выразить зависимость новой
координаты слоя через относительную деформацию :

где суммирование ведется по всем предшествующим слоям. При бесконечно малых
ширинах слоев сумма в формуле (8) может быть выражена, как площадь под графиком
зависимости в интервале от 0 до .

Теперь можно приступить к непосредственному решению второй части задачи.

Решим эту задачу в общем
виде (что не запрещает решать
каждый случай отдельно).
Итак, к правому торцу
стержня приложили силу , а к
левому .
В течении некоторого промежутка времени разные части стержня будут двигаться
с разными скоростями, что приведет к возникновению деформаций внутри стрежня. По
прошествии некоторого промежутка времени деформации стабилизируются, после чего
скорости всех точек стержня будут одинаковы, следовательно, будут одинаковы и их
ускорения. Исходя из этого условия и с помощью второго закона Ньютона, мы сможем
найти распределение сил упругости внутри стержня. Далее с помощью закона Гука мы
сможем найти распределение относительных деформаций, что позволит нам рассчитать
все требуемые характеристики.
Выделим участок стержня длиной , начиная от его левого торца. На основании 2
закона Ньютона можно записать уравнение

где - масса выделенной части стержня ( - масса всего стержня), - сила упругости, действующая со стороны правой части стержня, - ускорение стержня. Ускорение можно найти, записывая уравнение 2 закона Ньютона для всего стержня:

Теперь из уравнения (9) можно найти зависимость силы упругости внутри стержня, как функцию координаты

Переход к относительной деформации определяется очевидной цепочкой преобразований:


где обозначено , - относительные деформации, создаваемые постоянными силами , соответственно. График этой зависимости представляет собой прямую линию. Интересно отметить, что для относительных деформаций справедлив принцип суперпозиции (что следует из линейности закона Гука): сила приводит к возникновению деформаций, линейно уменьшающихся от максимального значения в месте ее приложения (т.е. на правом торце) до нуля на противоположном торце; аналогично ведут себя деформации, создаваемые силой : от максимального значения на левом торце, до нуля на правом.
Графики функции и ее составляющих приведены на рисунке.
Как уже было отмечено, площадь под графиком равна полному удлинению стержня. В данном случае оно рассчитывается по формуле

Для расчета энергии деформаций необходимо воспользоваться формулой для объемной плотности энергии (5). Полная энергия может быть найдена посредством вычисления суммы

Подставляя выражение для зависимости , получим

Рассмотрим смысл полученного выражения. Первое слагаемое – полная энергия деформаций, обусловленных силой ; второе - полная энергия деформаций, обусловленных силой ; третье – дополнительное слагаемое, «перекрестный» член! Так как плотность энергии нелинейно зависит от относительной деформации, то для полной энергии принцип суперпозиции не «работает», что и иллюстрируется появлением третьего слагаемого!

Первые сумма может быть вычислена с помощью приведенной математической подсказки:

Вторая сумма имеет то же значение – какая разница суммировать слева направо, или справа налево? Третья также может быть вычислена без особых проблем:

Для полной энергии деформаций получаем формулу:

Если, наконец, подставить выражения для через действующие силы, то получим окончательную формулу:

Три случая, приведенные в условии задачи различаются только значением силы , поэтому требуемые ответы могут быть сведены в таблицу:

Требуемые графики показаны на рисунке.

1.3 Разгон и деформации

1.3.1 Характерное время установления равновесия может быть оценено, как время распространения упругой волны по всему стержню:

где - скорость звука в материале стержня.

1.3.2 Сначала будем считать, что равновесные деформации стержня устанавливаются мгновенно. В этом случае энергия упругих деформаций определяется формулой (20в) . Кинетическая энергия стержня изменяется по закону

Приравнивая ее к потенциальной энергии деформаций, получим уравнение

Учитывая, что масса стержня , из уравнения (23) найдем

Из полученной оценки следует, что равенство кинетической и потенциальной энергий достигается быстрее, чем волна деформаций достигнет конца стержня, то есть еще до того, как весь стержень придет в движение.
Следовательно, необходимо рассмотреть процесс распространения упругой волны в стержне. Для строгого решения такой задачи следует решать волновое уравнение, описывающее процесс распространения деформаций. Однако для получения оценок можно предложить следующую упрощенную модель распространения: упругая волна движется вдоль стержня со скоростью звука от торца, к которому приложена сила . Этот торец стержня движется с некоторой скоростью (второй торец покоится до тех пор, пока волна деформаций его не достигнет!) В качестве основного упрощающего допущения, будем считать, что в возмущенной части стержня (длиной ) успевает произойти установление равновесного распределения относительных деформаций. Иными словами, график зависимости деформаций от координаты имеет вид отрезка прямой, нижний конец которого смещается к началу

координат со скоростью звука (см. рис). Как было показано ранее смещение конца стержня численно равно площади под графиком зависимости . В рамках предложенной модели это смещение равно

где , по-прежнему.

Откуда следует, что конец стержня, к которому приложена сила, движется с постоянной скоростью

до тех пор, пока волна деформаций не достигнет противоположного конца стержня.

Другие точки стержня (до которых дошло возмущение) движутся с меньшими скоростями. Поэтому кинетическая энергия стержня, точнее его движущей части может быть записана в виде

где - масса движущейся части, - средний квадрат скорости этой части стержня.

В принципе, в рамках нашей модели можно найти и распределение скоростей и вычислить точное значение среднего квадрата, но для оценки можно принять
, тогда кинетическая энергия стержня возрастает со временем по закону (с учетом выражения для скорости звука)

Для «треугольного» распределения деформаций потенциальная энергия была посчитана ранее (формула 20в)), которая в данном случае дает выражение

Сравнение эти двух выражение приводит к выводу: во время распространений волны потенциальная энергия деформаций всегда превышает кинетическую энергию!

К моменту , когда волна достигает конца стержня, потенциальная энергия достигает своего максимального значения, а весь стержень приобретает скорость, рассчитанную по формуле (26). Далее, так как установилось равновесное распределение деформаций. стержень начинает двигаться как единое целое с постоянным ускорением . Чтобы кинетическая энергия стержня стала равной его потенциальной энергии его скорость должна достичь величины , которую можно найти из условия

Так как к моменту скорость стержня определяется формулой (26), и стержень движется с ускорением

Отметим, что точное значение

То время , которое потребуется, чтобы достичь нужной скорости, находится из уравнения

Прибавляя время разгона , получим окончательную оценку искомого времени

В заключение отметим, что результат зависит от используемой модели, однако можно считать, что оценка времени в общем виде имеет вид

Где — безразмерный коэффициент незначительно превышающий 1.