1.1. Рассмотрим выражение

данное выражение представляет проекцию площади участка на плоскость перпендикулярную вектору . В силу малости участка можно считать, что выражение (1) есть часть площади поверхности сферы радиуса , которая стягивает телесный угол . Тогда пользуясь определением телесного угла, находим:

1.2. Разобьём всю плоскую площадку на малые участки . Заряд такого участка:

Величина напряжённости электростатического поля, создаваемого данным участком, определяется выражением:

Компонента поля , перпендикулярная заряженной плоскости, тогда (см. рис. 1):

Воспользовавшись выражением (2), доказанном в п. 1.1, получаем:

Согласно принципу суперпозиции для вектора напряжённости электростатического поля, находим, что:

1.3. Бесконечная равномерно заряженная плоскость стягивает телесный угол

Тогда в соответствии с (7):

• хорошо известный результат!

XI класс. Теоретический тур. Вариант 2.

1.4. Изобразим на рис.2 конус, ограничивающий телесный угол, под которым «виден» равномерно заряженный диск. Угол полураствора данного конуса определяется выражением:

Тогда телесный угол при вершине построенного конуса можно определить, воспользовавшись подсказкой:

Величина перпендикулярной компоненты напряженности электростатического поля в соответствии с (7):

Из осевой симметрии системы следует, что вектор напряженности поля направлен вдоль оси диска, поэто формула (12) дает и модуль вектора напряженности поля:

При получаем приближенное выражение

видим, что величина напряженности поля линейно убывает.

В другом предельном случае получаем:

т.е. на большом удалении поле диска совпадает с полем точечного заряда.

Для построения графика (рис.3) зависимости воспользуемся относительными координатами:

На графике также отображены приближения: при и .

XI класс. Теоретический тур. Вариант 2.

1.5. Для получения ответа в данном пункте определим, под каким телесным углом «видна» часть бесконечной равномерно заряженной плоскости без отверстия:

Тогда величина напряженности поля на оси симметрии данной системы в соответствии с (7):

При :

видим, что величина напряженности поля линейно возрастает.

При :

поле совпадает с полем бесконечной равномерно заряженной плоскости и отрицательного точечного заряда.

Для построения графика (рис.4) зависимости опять воспользуемся относительными координатами:

На графике также отображены приближения при и .

1.6. Для возникновения колебаний нужна возвращающая сила, в нашем случае, заряд должен притягиваться к центру отверстия вдоль оси, следовательно, это должен быть отрицательный заряд:

Сила, действующая на точечный заряд в электростатическом поле , определяется выражением:

XI класс. Теоретический тур. Вариант 2.

Запишем тогда 2-ой закон Ньютона для заряда , находящегося на оси симметрии системы на малом расстоянии от центра отверстия:

В проекциях на ось :

Преобразуем (22), чтобы получить уравнение гармонических колебаний:

И тогда для циклической частоты и периода гармонических колебаний можем записать:

2.1. Относительная погрешность:

Таблица. Результат расчета относительной погрешности определения напряженности электростатического поля внутри конденсатора:

XI класс. Теоретический тур. Вариант 2.