Задача 1.1. Атмосфера с переменной температурой.

1.1.1 Основная проблема, возникающая при решении задачи, заключается в том, что плотность воздуха зависит от давления и температуры, поэтому изменяется при подъеме над поверхностью земли. Поэтому рассмотрим тонкий слой атмосферы толщиной , находящийся на высоте от поверхности земли. Пренебрежем изменением плотности воздуха в пределах этого тонкого слоя. Тогда изменение давления в пределах этого слоя равно

Плотность воздуха выразим из уравнения состояния Менделеева – Клапейрона:

Подставим это выражение в формулу (1):

Теперь сделаем решительное предположение: зависимость давления от высоты имеет вид

Тогда

Подставим это выражение, а также формулы для зависимостей температуры и давления от высоты в формулу (3):

Это равенство будет верным при

Таким образом, действительно зависимость давления от высоты имеет вид (4) с показателем степени (7).

Теоретический тур. Вариант 1.
11 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
2

1.1.2 Из приведенной в условии зависимости температуру от высоты следует, что

Показатель степени:

Легко подсчитать температуру на высоте :

Наконец, давление на высоте :

Теоретический тур. Вариант 1.
11 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
3

Задача 1.2. Радиоактивные шары.

1.2.1 Количество теплоты, которое выделяется во всем шаре, пропорционально объему шара. В стационарном режиме энергия, выделившаяся в шаре, равна энергии излученной поверхностью шара:

Здесь - мощность теплоты, выделяющейся в единице объема. Из этого соотношения следует, что

Рассмотрим теперь распределение температур внутри шара, т.е. зависимость температуры от расстояния до центра шара . Для этого рассмотрим сферическую поверхность некоторого радиуса концентрическую с шаром. Поток теплоты через эту поверхность равен количеству теплоты, выделившейся внутри этой поверхности:

Из этого уравнения следует, что

где - некоторая постоянная величина. Используя математическую подсказку, зависимость температуры от расстояния до центра имеет вид:

Величина имеет смысл температуры в центре шара. Если положить , то эта формула даст значение температуры на поверхности шара. Поэтому можно записать

Постоянная неизвестна, но ее можно исключить, составив пропорцию:

Окончательно находим, что температура в центре второго шара равна

Теоретический тур. Вариант 1.
11 класс. Решения задач. Бланк для жюри.
4