Обогрев дома

Условие

Городская олимпиада (3-й этап) 2017 9 класс № 3

Республика Беларусь тратит значительно количество энергии на обогрев помещений. Экономия ресурсов, затрачиваемых на отопление, является важной государственной проблемой. В данной задаче Вам необходимо рассмотреть некоторые возможности уменьшения расходов на поддержание комфортных температур в жилых помещениях.

При решении задачи вам понадобится закон теплопроводности (сформулированный французским физиком Ш. Фурье). В упрощенной форме он формулируется следующим образом. Пусть одна сторона плоскопараллельной пластины толщиной поддерживается при постоянной температуре , а вторая при температуре . Тогда плотность потока теплоты через пластину пропорционален разности температур и обратно пропорционален толщине пластины

Коэффициент пропорциональности зависит только от материала пластины и называется теплопроводностью материала.

Плотностью потока теплоты называется количество теплоты, которое перетекает через площадку единичной площади в единицу времени (чтобы избежать путаницы в данной задаче температуру будем обозначать , а время )

Справочные данные:

	Плотность	Удельная теплоемкость	Теплопроводность
Воздух	$кг м$	$кДж кг К$	$Вт м К$
Бетон	$кг м$	$кДж кг К$	$Вт м К$
Утеплитель (стекловата)			$Вт м К$

Примечание. Плотность, теплоемкость и теплопроводность воздуха зависят от температуры и давления. Однако, в данной задачей этими зависимостями следует пренебречь и использовать приведенные в таблице средние значения.

Часть 1. Бетонная коробка.

Основу дома является бетонная коробка, внутренние размеры которой $м$ . Толщина стен, пола и потолка равна $см$ .

1.1 Рассчитайте массу бетона, из которого изготовлена коробка.

1.2 Рассчитайте теплоемкость коробки .

1.3 Оцените массу воздуха внутри дома и его теплоемкость .

Теплоемкостью тела (не путайте с удельной теплоемкостью вещества) называется количество теплоты, которое требуется, чтобы нагреть тело на .

Влиянием окон и дверей на потери теплоты можно пренебречь.
Пол и потолок дома хорошо теплоизолированы (потолок поверх слоя бетоны, а пол снизу слоя бетона), поэтому потери теплоты проходят только через стены дома.

Часть 2. Обогрев без утеплителя

В данной части задачи рассматриваются возможности обогрева рассмотренного в Части 1. Для обогрева дома используется печь, работающая на дизельном топливе. Коэффициент полезного действия печи приемем равным 70% (т.е. 30% выделяемой теплоты улетает «в трубу»). Максимальная полезная мощность печи равна $кВт$ .

2.1 Рассчитайте стоимость ( $руб Дж$ ) 1 Джоуля теплоты, идущего на нагревание дома.

Плотность дизельного топлива $кг м$ , удельная теплота его сгорания $МДж кг$ , цена 1 литра топлива 1,2 руб.

2.2 Пусть мощность теплоты идущей на обогрев комнаты равна , температура наружного воздуха . Получите формулу для установившейся температуры воздуха внутри дома .

*Считайте, что температура поверхности стен внутри дома равна , а снаружи - . Для передачи теплоты от стен к наружному воздуху температура стены должна быть немного выше, чем температура воздуха. Однако эта разность обычно мала и ею можно пренебречь.

2.3 Пусть средняя температура наружного воздуха равна . Какова должна быть мощность теплоты , идущей на обогрев, что бы температура воздуха внутри дома была равна ? Рассчитайте стоимость дизельного топлива, которое потребуется на обогрев дома в течение суток.

2.4 Рассмотрим разогрев дома. Пусть начальная температура воздуха в доме и температура стен равна температуре наружного воздуха . Печь разжигают.
Рассчитайте:

количество теплоты, которое пойдет на разогрев воздуха в комнате до температуры ;
количество теплоты, которое пойдет на нагревание стен, потолка и пола до достижения установившейся температуры;
стоимость «разогрева» дома в рублях.
Оцените время разогрева дома до установившейся температуры. Если мощность печи равна максимальной полезной мощности печи $кВт$ .

Часть 3. Утепление

Пусть теплота перетекает через некоторый слой вещества. На основании закона Фурье можно записать, что плотность потока теплоты через слой выражается формулой

где коэффициент (назовем ее тепловой проводимостью) зависит от материала слоя и его толщины, - разность температур на границах слоя.

3.1 Рассчитайте численное значение коэффициента для бетонной стены рассматриваемого дома.

3.2 Путь теплота протекает через два параллельных слоя, тепловые проводимости которых равны и . Покажите, что плотность потока теплоты через составной слой может быть записана в виде

Выразите значение коэффициента для составного слоя, через значения коэффициентов и .

Для уменьшения расходов стены дома утепляют, покрывая их слоем утеплителя (стекловаты), толщиной см.

3.3 Какова должна быть мощность теплоты , идущей на обогрев дома, чтобы поддерживать внутри постоянную температуру C при температуре наружного воздуха C.

3.4 Во сколько раз уменьшаться финансовые расходы на поддержание температуры в доме.

3.5 Оцените время и стоимость «разогрева» утепленного дома от C до установившейся температуры C, если включить печь на максимальную полезную мощность кВт.

3.6 Допустим, что житель города наезжает в свой загородный дом (рассматриваемый в данной задаче) только на выходные дни. Дайте совет — что экономически выгоднее, разогревать дом по приезде в субботу, или поддерживать его установившуюся температуру в течение будних дней?

УТВЕРЖДАЮ
Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа
Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования
Р.С.Сидоренко
«___» декабря 2016 г.