Шар в потоке

Условие

Городская олимпиада (3-й этап) 2022 11 класс № 3

Расчет сил, действующих на различные тела, движущиеся в газах и жидкостях, является чрезвычайно сложной задачей. Уравнения гидро- и аэродинамики очень сложны, их решение возможно только для простых моделей обтекания тел набегающими потоками. Так как эти проблемы имеют громадное практическое значение, то для их решения применяют различные методы и их комбинации. Одним из эффективных (и эффектных) из них является метод размерностей и подобия, который рекомендуется использовать при решении данной задачи.

Введение. Метод размерностей в физике.

Пусть Вам необходимо установить вид зависимости физической величины от ряда величин

Предположим, что эта зависимость имеет степенной вид

где - безразмерный численный коэффициент. Любая физическая формула должна удовлетворять условию размерностей, т.е. размерность величины, стоящей справа, должна совпадать с размерностью величины, стоящей слева. Это условие можно записать в виде символического равенства

Здесь и далее обозначено - размерность величины . Равенство (3) иногда позволяет получить систему уравнений для показателей степеней . Для этого размерности величин следует выразить через основные единицы системы СИ и записать равенства показателей степеней для этих основных единиц. Сразу заметим, что определить значение коэффициента в уравнении (2) этим способом не возможно, но... и с этой проблемой иногда можно побороться. Как? - что покажем дальше.

Для того, чтобы прочнее усвоить метод размерностей, решите этим методом следующую простую задачку (ответ которой Вам, конечно, известен).

Груз массы подвешен на невесомой пружине жесткости . Предположим, что период колебаний подвешенного груза зависит от его массы, жесткости пружины и ускорения свободного падения . Представим эту зависимость в виде

0.1 Используя метод размерностей, запишите систему уравнений для определения показателей степеней в формуле (4). Найдите эти показатели. Запишите формулу для периода колебаний подвешенного пружинного маятника.

Часть 1. «Вязкое» лобовое сопротивление.

Перейдем к основному содержанию данного задания. Рассмотрим движение шарика в жидкости или газе.

При движении тела в среде, на него действует сила сопротивления со стороны среды.

Первой основной причиной возникновения сил сопротивления является вязкость среды, обусловленная силами межмолекулярного взаимодействия между слоями движущейся жидкости или газа, и взаимодействия жидкости и поверхности тела.

При движении вязкой жидкости, когда скорость жидкости различна в различных точках, между слоями жидкости возникают силы вязкости. Простейший случай: скорость жидкости зависит только от одной координаты (см. рис.), тогда сила, действующая на площадку площади (верхний более быстрый слой «тянет» нижний), задается законом Ньютона для вязкого трения

где - и есть вязкость (коэффициент вязкости) жидкости или газа.

Если вязкость является основной причиной возникновения силы лобового сопротивления, сила, действующая на шарик, зависит от вязкости среды , радиуса шарика , скорости его движения . Иными словами, формула для этой силы имеет вид

1.1 Определите значения показателей степеней в формуле (6), запишите эту формулу в явном виде.

1.2 Пластилиновый шарик радиуса медленно опускается в глицерине с постоянной скоростью . С какой скоростью будет опускаться пластилиновый шарик в глицерине, если его радиус равен ? Считайте, что сила сопротивления определяется формулой (6).

Часть 2. «Динамическое» сопротивление.

Второй причиной возникновения лобового сопротивления является «динамика» движения жидкости: при обтекании жидкостью тела изменяется направление и модуль скорости течения жидкости. Тем самым изменяется импульс жидкости (газа), который передается телу. Как известно, импульс, переданный в единицу времени, есть сила.

Итак, в данной модели сила определяется импульсом, преданным от среды к шарику. Разумно предположить, что этот импульс определяется плотностью среды , радиусом шарика и его скоростью . Поэтому формула для динамического сопротивления должна иметь вид

2.1 Определите значения показателей степеней в формуле (6), запишите эту формулу в явном виде.

2.2 Дождевая капля воды радиуса падает в воздухе с некоторой установившейся скоростью . С какой скоростью будет опускаться в воздухе капля, радиус которой в два раза больше ? Считайте, что сила сопротивления определяется формулой (7).

Часть 3. Общий случай: действуют обе причины.

В общем случае сила, действующая на шарик, движущийся в вязкой среде, зависит от четырех величин: плотности среды, радиуса шарика, его скорости и вязкости среды. Представим эту зависимость в виде

Размерности величин, входящих в эту формулу, выражается через три основных единицы: метр, секунда килограмм. А неизвестных показателей – четыре! Поэтому эти показатели не могут быть определены однозначно.

3.1 Выразите показатели степени в формуле (8), через показатель . Запишите формулу (8) в явном виде.

Представим теперь формулу (8) в виде

Где - неизвестная функция от безразмерного параметра , который называется числом Рейнольдса. Эта функция не известна, но... как известно, «всякая неизвестная функция приблизительно линейна...»

3.2 Выразите безразмерное число Рейнольдса через параметры задачи .

Часть 4. Экспериментальные измерения.

Экспериментально измерены силы лобового сопротивления, действующие на различные шарики, движущиеся в различных средах, с различными скоростями. В Таблице 1 представлены результаты таких измерений, в ней указаны: вещество окружающей среды; вязкость этой среды ; ее плотность , радиус шарика , скорость движения шарика , измеренное значение силы лобового сопротивления .

Таблица 1.

	$Па с$	$кг м$	$м$	$м с$	$Н$
воздух
вода
оливковое масло
глицерин					?

4.1 Используя данные таблицы, найдите значение силы лобового сопротивления, действующую на шарик, движущийся в глицерине. Характеристики шарика и глицерина указаны в последней строке Таблицы 1.

Нужна подсказка? →

Условие

Похожие задачи