25 декабря 2021 года с космодрома Куру при помощи ракеты «Ариан-5» был успешно запущен космический аппарат, снабженный инфракрасным телескопом «Джеймс Уэбб» (англ. James Webb Space Telescope, JWST). В январе 2022 года этот аппарат вышел в точку своей постоянной дислокации. Положение телескопа будет оставаться практически неизменным относительно Земли, причем все время он будет находиться в тени Земли.

В данной задаче вам необходимо рассчитать положение этой научной станции. На первый взгляд — такое положение космического аппарата невозможно: чтобы он все время оставался в тени Земли (т.е. все время находился на одной прямой с Солнцем и Землей) угловая скорость его вращения должна быть равна угловой скорости движения Земли. Но... по 3 закону Кеплера период обращения однозначно связан с радиусом орбиты!!!

Разрешение парадокса заключается в том, что центр орбиты Земли не совпадает с центром Солнца: два взаимодействующих тела вращаются вокруг общего центра масс. Для упрощения расчетов примем следующие приближения:

• при рассмотрении движения Земли и Солнца влиянием других планет пренебрегаем (рассматриваем задачу двух тел);
• тем более движение космического аппарата не влияет на движение Земли;
• орбита Земли является окружностью.

Масса Солнца кг. Масса Земли кг. Радиус орбиты Земли км.

Рассмотрим задачу «двух» тел: два массивных тела (масса одного из них , масса второго , для определенности будем считать, что ) движутся только под действием силы гравитационного взаимодействия по круговым орбитам. Расстояние между телами остается неизменным и равным .

1. Докажите, что центры окружностей, по которым движутся тела, совпадают с центром масс системы этих тел.
2. Найдите радиусы траекторий , обоих тел.

Добавим в рассматриваемую систему третье тело, масса которого значительно меньше масс первых двух тел. Будем считать, что это тело все время находится на прямой, проходящей через центры Солнца и Земли. Можно показать, что на этой прямой существует только три точки, в которых может находится третье тело, оставаясь все время неподвижным относительно Земли и Солнца (эти точки называются точками Лагранжа).

1. Получите точное уравнение, позволяющие определить расстояние от менее массивного тела (т.е. Земли) до точки Лагранжа на прямой Земля – Солнце, находящейся за орбитой Земли.

Масса Солнца значительно больше массы Земли, поэтому полученное уравнение можно решить приближенно. Используйте тот факт, что расстояние от центра Солнца до центра масс системы Солнце – Земля значительно меньше радиуса земной орбиты.

1. Рассчитайте, на каком расстоянии от Земли располагается аппарат JWST.

Математическая подсказка: при можно использовать приближенную формулу

Задание 10-2. Космический инфракрасный телескоп Джеймс Уэбб. Лист ответов.

2. Радиусы орбит

3. Точное уравнение для расстояния от Земли до космического аппарата

4. Расстояние до космического аппарата (формула, численное значение)