Решение.

1. На основании 2 закона Ньютона и закона всемирного тяготения запишем уравнения, описывающие круговые движения обоих тел:

Здесь - угловая скорость движения тел. Из этих уравнений следует, что радиусы орбит удовлетворяют условию

Это соотношение указывает, что центр окружностей является центром масс системы двух тел.

1. Сумма радиусов равна расстоянию между телами

Из уравнений (2) - (3) находим радиусы орбит:

1. Для тела массы , находящегося в точке Лагранжа, справедливо уравнение

Из уравнения (1) выразим значение угловой скорости

И подставим его в уравнение (5), также как выражение для :

Наконец, разделим уравнение на массу большего тела и введем отношение масс массивных тел , в результате получим уравнение для расчета значения расстояния от второго тела до первой точки Лагранжа:

1. Очевидно, что масса спутника значительно меньше массы Земли, поэтому его положение совпадает с точкой Лагранжа. Поэтому для расчета расстояния до Земли следует решить уравнение (7). Точное решение этого уравнения затруднительно. Однако, масса Земли значительно меньше массы Солнца , поэтому расстояние до Земли значительно меньше радиуса Земной орбиты (который практически равен расстоянию от центра Земли до центра Солнца). В этом случае можно решить данное уравнение приближенно (но с высокой точностью), для чего следует провести следующее разложение:

После этого разложения уравнение решается элементарно:

Численный результат: