Рассмотрим движение искусственного спутника Земли в верхних слоях атмосферы. Наличие атмосферного «хвоста» приводит к тому, что на спутник действует тормозящая сила, пропорциональная плотности газа, площади поперечного сечения спутника и квадрату его скорости:

Безразмерный коэффициент в данной задаче можно принять равным единице.

Сила эта невелика, и спутник может годами вращаться вокруг Земли. Однако радиус его орбиты будет постепенно уменьшаться, соответственно будет изменяться и скорость движения спутника. Предлагаем рассмотреть динамику спутника подробнее:

1. Спутник с массой и площадью поперечного сечения находится на орбите радиуса . Определите скорость его движения и период обращения вокруг Земли .

2. Чему равна полная механическая энергия спутника ?

3. Теперь учтём силу сопротивления. Плотность атмосферы на данной высоте — . За один «виток» радиус орбиты изменяется на относительно маленькую величину (), поэтому силу сопротивления на этом «витке» можно считать постоянной величиной. Определите относительное изменение скорости спутника и радиуса орбиты за один оборот.

4. Определите тангенциальное (по касательной к орбите) ускорение спутника на этой орбите.

5. С какой скоростью спутник приближается к центру Земли на этой высоте? Если бы плотность атмосферы изменялась по закону , то при некотором значении , эта скорость оставалась бы постоянной величиной. Определите, чему равен этот показатель .

6. Рассмотренное явление может дать ценную информацию о верхних слоях атмосферы. Сферический зонд с массой и площадью поперечного сечения выводят на орбиту на высоте . Не составляет большого труда измерять изменение скорости спутника. На рисунке 1 приведён график зависимости скорости спутника от времени наблюдения.

Известно, что плотность атмосферы экспоненциально уменьшается с высотой, т.е. . Используя приведенный график, определите постоянную .

Некоторые постоянные:

Радиус Земли .

Масса Земли .