1. При движении спутника, на него действует лишь сила притяжения со стороны Земли (сопротивление пока не учитываем). Она же является центростремительной силой.
   
   Отсюда получаем:
   
   Период обращения:
   

2. Полная механическая энергия спутника есть сумма его потенциальной и кинетической энергий:
   
   Заметим, что полная энергия является отрицательной величиной и по модулю равна кинетической энергии.

3. Т.к. радиус орбиты изменяется несущественно, то можно считать, что на протяжении всего витка на него действует одна и та же постоянная по модулю сила сопротивления , т.е. плотность воздуха и скорость в этом выражении считаем постоянными. Эта сила будет совершать отрицательную работу , что приведёт к уменьшению полной энергии спутника. Для вычисления относительного изменения скорости, воспользуемся выражением полной энергии спутника через его скорость. Тогда закон сохранения энергии примет вид:
   
   Сразу же отметим, что скорость должна увеличиваться. Преобразуем выражения, стоящие в правой части равенства.
   
   В последнем преобразовании было учтено, что величина очень маленькая, поэтому её можно не учитывать.
   Используя такое упрощение и преобразуя уравнение (5), получим:
   
   Для определения относительного изменения радиуса орбиты, поступим следующим образом. Из (2) следует, что:
   

Другими словами, произведения квадрата скорости на радиус орбиты остаётся постоянной величиной. Значит:

Совершив, преобразование (6), получим:

Заметим, что в решении этого пункта присутствует существенное упрощение. С одной стороны мы считаем силу постоянной, а, т.к. в выражение для силы входит квадрат скорости, то его мы фактически тоже считаем постоянным. С другой стороны мы ищем изменение этой самой скорости. На самом деле, с изменением скорости изменяется и сила сопротивления, и точное решение будет несколько отличаться от полученного нами. Однако для малых относительных изменений скорости это различие будет несущественным и такой метод решения вполне применим.

1. Выражение для тангенциального ускорения легко получить, разделив изменение скорости спутника на величину промежутка времени, за который это изменение произошло, т.е. на продолжительность одного «витка».
   
   Такой вот получается парадокс. Вроде как сила сопротивления, а приводит к ускорению спутника.

2. Скорость снижения спутника находится аналогично:
   
   Используя выражение (2), получим:
   
   Если плотность будет убывать обратно пропорционально корню квадратному от расстояния до центра Земли, то скорость не будет изменяться. Поэтому
   

3. Рассмотрим подробнее выражение (11). Выражая плотность, получим:
   
   Таким образом, чтобы найти плотность, надо не знать скорость и ускорение спутника. Кроме того, понадобится также определять высоту, на которой находится спутник в данный момент времени:
   
   Подставим известные численные значения постоянных и получим:
   
   
   Для вычисления необходимо на приведённом графике взять несколько точек, по значению скорости вычислить высоту полёта спутника, а проведя касательные в этих точках, вычислить ускорения, что позволит определить плотность атмосферы. Результаты приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Точно провести касательную – сложная задача, поэтому ускорение приведено с двумя (а в последнем случае – с одной) значащими цифрами.
Видим, что в пятидесятикилометровом интервале высоты плотность изменяется почти на три порядка. В таблице также вычислен натуральный логарифм от плотности, что необходимо для определения . На рисунке 1 приведён график . Можно с достаточной долей уверенности сказать, что плотность действительно будет убывать по экспоненциальному закону.