Двойное скольжение — решение

1.1

1.1 «Шарик и параллелепипед» Поскольку движение параллелепипеда равномерное и прямолинейное, то логично предположить, что шарик также будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью под некоторым углом к горизонту.

В таком случае для нахождения скорости нет необходимости рассматривать малые промежутки времени , а можно выбрать любой удобный конечный промежуток времени .

Воспользуемся этим соображением и рассмотрим систему через промежуток времени , когда параллелепипед сместился вправо на длину вертикальной стороны (Рис. 01)

Поскольку нить нерастяжима, то при этом шарик поднялся по вертикальной стенке параллелепипеда до его вершины (см. Рис. 01).

Следовательно, его перемещение (по модулю) составило гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника

Соответственно, искомая скорость шарика будет направлена вдоль гипотенузы (под углом к горизонту) и равна по модулю

Таким образом, траектория шарика будет представлять собой отрезок , также направленный под углом к горизонту, длиной

Как следует из (4), сторона параллелепипеда не влияет на решение данной задачи – она может быть любой. Эта сторона параллелепипеда играет существенную роль только при рассмотрении дальнейшего движения системы. ☺

1.2

1.2 «Шарик и наклонная плоскость» Применяя те же общие рассуждения, что и в предыдущем пункте, делаем вывод, что и в этом случае шарик будет двигаться равномерно и прямолинейно со скоростью под некоторым углом к горизонту.

Соответственно, рассмотрим систему через промежуток времени , когда наклонная плоскость сместилась вправо на свою длину (Рис. 02)

Поскольку нить нерастяжима, то при этом шарик поднялся по наклонной плоскости до ее вершины (см. Рис. 02).

Следовательно, его перемещение (по модулю) составило основание равнобедренного треугольника с углом при вершине

Соответственно, искомая скорость шарика будет направлена вдоль основания равнобедренного треугольника под углом к горизонту

Модуль скорости при этом будет

Таким образом, траектория шарика будет представлять собой отрезок , направленный под углом к горизонту, длиной

Интересно, что при из (8) и (9) получаем формулы (3) и (4) из предыдущего пункта, поскольку вертикальную стенку параллелепипеда можно считать «наклонной плоскостью» с прямым углом. Физика рулит! ☺

1.3

1.3 «Шарик и полусфера» Движение полусферы равномерное, следовательно, через промежуток времени она пройдет по плоскости расстояние (Рис. 03)

В силу нерастяжимости нити шарик пройдет по полусфере такое же расстояние и окажется в точке (см. Рис. 03), причем длина дуги будет равна

Из (11) находим угол

Проведем касательную к полусфере в точке нахождения шарика в данный момент времени (см. Рис. 03). Она будет образовывать с горизонтом угол , который равен

Для мгновенного движения шарика маленький участок полусферы можно считать прямым участком движущейся наклонной плоскости, составляющей такой же угол с горизонтом. А это значит, что можно воспользоваться формулами (7) и (8) из предыдущего пункта задачи для наклонной плоскости, в которые вместо угла подставить угол .
Следовательно, модуль мгновенной скорости шарика будет равен

или

или

Скорость в данный момент будет направлена под углом к горизонту

В частности, в момент начала движения () угол , при этом шарик находится у практически вертикальной стенки полусферы, т.е. как в первом пункте задачи (с параллелепипедом). И там, действительно, угол был 45 градусов.

В данном пункте (это несложно обосновать), траекторией движения шарика будет участок циклоиды (Рис. 4), т.е. кривой, которую описывает в пространстве точка на ободе кольца, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности.

Существенными параметрами циклоиды являются высота арки циклоиды () и расстояние () между точками касания поверхности качения.