Конический маятник — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2026 10 класс № Э1

В данной задаче конический маятник — это маленький стальной шарик, подвешенный на невесомой нерастяжимой нити и совершающий равномерное движение по окружности в горизонтальной плоскости. Нить при этом описывает поверхность конуса.

В данной задаче Вам предстоит исследовать зависимость периода обращения шарика по окружности от её радиуса при движении с постоянной по модулю скоростью. *Внимание! Ускорение свободного падения в данной задаче считается неизвестным.

Оборудование: экспериментальная установка (рис. 1, основные деления на бумажной полосе нанесены через см), электронный секундомер с памятью 10-и этапов.

Рисунок 1

1.1

1.1

1.2

1.2 Запишем второй закон Ньютона в проекции на оси координат:

$В ы р а з и м ч е р е з и с п о л ь з у я о с н о в н о е т р и г о н о м е т р и ч е с к о е т о ж д е с т в о п о л у ч и м$ \cos \beta = \sqrt{1 - (sin\beta)^2} \tag{8}, $п р е д с т а в и м к а к$ sin\beta = \frac{R}{l} \tag{9}. $Д е л а я п о д с т а н о в к у п о л у ч и м$ T = 2\pi \sqrt{\frac{l\sqrt{1 - \left(\frac{R}{l}\right)^2}}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \cdot \sqrt[4]{1 - \left(\frac{R}{l}\right)^2} \tag{10}. $И з м е р я е м в р е м я и о б о р о т о в ш а р и к а п о о к р у ж н о с т и с с м Т с П е р и о д н а х о д и м к а к$ T = \frac{\Delta\tau}{10} \tag{11}. $Т а б л и ц а З а в и с и м о с т ь с см с В о з в е д ё м о б е ч а с т и у р а в н е н и я в ч е т в ё р т у ю с т е п е н ь п о л у ч и м$ T^{4} = \frac{16\pi^{4}l^{2}}{g^{2}}\left(1 - \left(\frac{R}{l}\right)^{2}\right) \tag{12}. $П о с л е р а с к р ы т и я с к о б о к и с о к р а щ е н и я н а п о л у ч и м$ T^{4} = \frac{16\pi^{4}l^{2}}{g^{2}} - \frac{16\pi^{4}}{g^{2}}R^{2} \tag{13}. $С р а в н и в а я с у р а в н е н и е м в и д и м ч т о$ T^{4} \to y, \quad \frac{16\pi^{4}l^{2}}{g^{2}} \to b, \quad -\frac{16\pi^{4}}{g^{2}} \to k, \quad R^{2} \to x \tag{14}. $О п р е д е л и м з н а ч е н и я и Т а б л и ц а Г р а ф и к З а в и с и м о с т ь З а в и с и м о с т ь с м с с р е д д и с п к о в а р к о р р е л И с п о л ь з у я и п о л у ч и м ч т о п р и$ T = \sqrt[4]{b} \tag{15}. $И с п о л ь з у я М Н К м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь П Г О н а х о д и м$ b = (3{,}07 \pm 0{,}03)\text{с}^4, \langle T \rangle = \sqrt[4]{\langle b \rangle} = \sqrt[4]{3{,}07\text{с}^4} = 1{,}32\text{с}. \varepsilon_b = \frac{\Delta b}{\langle b \rangle} = \frac{0{,}03\text{с}^4}{3{,}07\text{с}^4} = 0{,}0098 = 0{,}98\% \tag{16}, \varepsilon_T = \frac{\varepsilon_b}{4} = \frac{0{,}0098}{4} = 0{,}0025 = 0{,}25\% \tag{17}, \Delta T = \varepsilon_T \cdot \langle T \rangle = 0{,}0025 \cdot 1{,}32\text{с} = 0{,}004\text{с} \tag{18}. $Т а к к а к п о с л е д н я я з н а ч а щ а я ц и ф р а в с р е д н е м з н а ч е н и и п е р и о д а н а х о д и т с я в р а з р я д е с о т ы х т о а б с о л ю т н у ю п о г р е ш н о с т ь н е о б х о д и м о п р и н я т ь с$ T = \langle T \rangle \pm \Delta T = (1{,}32 \pm 0{,}01)\text{с} $И с п о л ь з у я и п о л у ч и м$ g = \frac{4\pi^2}{\sqrt{-k}} \tag{19}. $И с п о л ь з у я М Н К н а х о д и м$ k = -(1{,}52 \pm 0{,}06) \cdot 10^{-3} \frac{\text{с}^4}{\text{см}^2}, \langle g \rangle = \frac{4 \cdot 3{,}14159^2}{\sqrt{-(-1{,}52 \cdot 10^{-3}) \frac{\text{с}^4}{\text{см}^2}}} = 1013 \frac{\text{см}}{\text{с}^2} = 10{,}1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}. \varepsilon_k = \frac{\Delta k}{\vert{}\langle k \rangle\vert{}} = \frac{0{,}06 \cdot 10^{-3} \frac{\text{с}^4}{\text{см}^2}}{1{,}52 \cdot 10^{-3} \frac{\text{с}^4}{\text{см}^2}} = 0{,}040 = 4{,}0\% \tag{20}, \varepsilon_g = \frac{\varepsilon_k}{2} = \frac{0{,}040}{2} = 0{,}020 = 2{,}0\% \tag{21}, \Delta g = \varepsilon_g \cdot \langle g \rangle = 0{,}020 \cdot 10{,}1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0{,}2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \tag{22}, g = \langle g \rangle \pm \Delta g = (10{,}1 \pm 0{,}2) \frac{\text{м}}{\text{с}^2}. $Е с л и т о и П о д с т а в л я я в п о л у ч и м$ R = l \tag{23}. $С л е д о в а т е л ь н о$ \beta = 90^\circ. $И с п о л ь з у я и п о л у ч и м$ \langle l \rangle = \frac{\langle g \rangle}{4\pi^2} \sqrt{\langle b \rangle} = \frac{10{,}1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{4 \cdot 3{,}14159^2} \cdot \sqrt{3{,}07 c^4} = 0{,}448 \text{м} \tag{24}. \varepsilon_l = \sqrt{\left( \frac{\Delta b}{2\langle b \rangle} \right)^2 + \left( \frac{\Delta g}{\langle g \rangle} \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{0{,}03 c^4}{2 \cdot 3{,}07 c^4} \right)^2 + \left( \frac{0{,}2 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}}{10{,}1 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}} \right)^2} = 0{,}021 = 2{,}1\% \tag{25}, \Delta l = \varepsilon_l \cdot \langle l \rangle = 0{,}021 \cdot 0{,}448 \text{м} = 0{,}010 \text{м} \tag{26}, l = \langle l \rangle \pm \Delta l = (0{,}448 \pm 0{,}010) \text{м}. $$

← Подсказки Оценить своё решение →

Решение

Похожие задачи