Задача 9-1 — решение

Решение

Республиканская олимпиада 1991 9 класс № 1

Хорошо известно, что максимальная дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, достигается при угле вылета равном и определяется формулой

Из этой формулы можно найти скорость, которую катапульта сообщает камню
$м с$

Рассмотрим теперь полет камня, выпущенного из движущейся катапульты. Введем систему координат, оси которой:

— направлена горизонтально, а

— вертикально. Начало координат совместим с положением катапульты в момент вылета камня.

Для вычисления вектора скорости камня необходимо учесть горизонтальную скорость движения катапульты . Допустим, что катапульта выбрасывает камень под углом к горизонту. Тогда компоненты начальной скорости камня в нашей системе координат могут быть записаны в виде

Закон движения камня имеет вид

Из второго уравнения системы (3) найдем время полета, положив ,

Подставив это выражение в первое уравнение системы (3), получим дальность полета камня

Отвлечемся немного от решения данной конкретной задачи и порассуждаем о полученном выражении. Во-первых, если катапульта неподвижна (), то формула (5) переходит в известное выражение для дальности полета тела, брошенного с начальной скоростью под углом к горизонту

Во-вторых, из (5) совсем не следует, что будет максимально при (это справедливо для (6), когда ).

Предлагая эту задачу на республиканскую олимпиаду, авторы были убеждены, что девять десятых участников получат формулу (5) и затем подставят в нее значение . Однако, к нашему сожалению, мы ошиблись: ни один из олимпийцев не усомнился в том, что максимальная дальность полета всегда (!) достигается при угле вылета, равном . Этот широко известный факт имеет ограниченные рамки применимости: он справедлив только, если: а) не учитывать сопротивление воздуха; б) точка вылета и точка падения находятся на одном уровне; в) метательный снаряд неподвижен.

Вернемся к решению задачи. Итак, нам необходимо найти значение угла , при котором , определяемое формулой (5), максимально. Можно, конечно, найти экстремум функции, используя аппарат дифференциального исчисления: найти производную, положить ее равной нулю и, решив полученное уравнение, найти искомое значение . Однако учитывая, что задача была предложена ученикам 9-х классов, мы дадим ее геометрическое решение. Воспользуемся тем обстоятельством, что $м с$ .

Расположим векторы

как показано на рис. Так как их длины равны, то вокруг них можно описать окружность с центром в точке

. Тогда длина отрезка

АС

равна

(это есть

), а длина отрезка

ВС

равна

(это

). Их произведение равно удвоенной площади треугольника

АВС

, или площади треугольника

АВВ

. Обратите внимание, что именно произведение

входит в

выражение для дальности полета (5). Иными словами, дальность полета равна произведению площади $АВВ$ на постоянный множитель . А теперь зададимся вопросом: какой из вписанных в данную окружность треугольников имеет максимальную площадь? Естественно, правильный! Поэтому искомое значение угла .

Вектор есть вектор полной начальной скорости камня, он направлен под углом к горизонту (опять же отнюдь не ).

Таким образом, окончательное решение задачи следует из формулы (5), в которую следует подставить .

$м$

← Условие

Решение

Похожие задачи