Задача 10-2 — решение

Решение

Республиканская олимпиада 1998 10 класс № 2

Для решения данной задачи удобно воспользоваться
уравнением движения для системы тел: произведение массы
системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил,
действующих на систему.
В данном случае

где - масса всей системы, - ее вес, - ускорение центра масс.
Когда вода (а, следовательно и центр масс) неподвижна, то вес
системы равен силе тяжести . Поэтому изменение веса при
перекачке воды определяется выражением

При перекачке уровни воды в сосудах и будут изменяться, конечно, по линейному закону

но положение центра масс всей системы будет изменяться по закону квадратичному. Действительно, высота центра масс может быть найдена из уравнения

где , - масса и высота центра масс установки без воды, - высота верхнего бака. Подставляя выражения (3), получим
$\tag not allowed in aligned environment\begin{aligned} MZ_c &= M_0Z_0 + \rho Slh_{10} + \frac{1}{2}\rho Sh_{10}^2 + \\ &+ \frac{1}{2}\rho Sh_{20}^2 + \rho V(l + h_{10} + h_{20})t + \rho\frac{V^2}{S}t^2. \tag{5} \end{aligned}$
Из выражений (2) и (5) следует

Заметим, что ответ не зависит от того, перекачивают воду вверх или вниз. Может эта задача вам покажется более понятной, если Вы проведете аналогию с двумя грузами, подвешенными на нити, перекинутой через блок. При ускоренном движении грузов вес всей системы также изменяется. Замените грузы тяжелой однородной веревкой и Вы получите простейший механический аналог этой задачи.

← Подсказки

Решение

Похожие задачи