Задача 9-2

Условие

Городская олимпиада (3-й этап) 2010 9 класс № 2

Задача 2. «Просачивание»

Внутри цилиндрической трубки с внутренним радиусом находится сплошной цилиндр длиной , радиус которого незначительно отличается от . Между стенками трубки и боковой поверхностью цилиндра существует тонкий зазор толщиной . Во всех пунктах данной задачи будем полагать, что толщина этого зазора постоянна и . Из этого условия следует, что средняя скорость течения жидкости в зазоре значительно превышает скорость движения цилиндра. Поэтому при расчете сил вязкого трения движением цилиндра можно пренебречь и считать, что сила, действующая на движущийся цилиндр, равна силе, действующей на цилиндр неподвижный.

При протекании жидкости через зазор на стенки трубки и боковую поверхность цилиндра действует со стороны жидкости сила трения (вязкого). Величина этой силы, действующей на единицу площади поверхности (как внутренней поверхности трубки, так и боковой поверхности цилиндра), определяется по формуле

$с р$

где $с р$ - средняя скорость течения жидкости в зазоре,

- постоянный коэффициент, зависящий только от свойств жидкости, который считайте известным. Такая же по модулю сила действует и на движущуюся жидкость. Понятно, что для того, чтобы жидкость протекала через зазор, необходимо создать некоторую разность давлений с разных сторон цилиндра.

1. Неподвижный цилиндр.

Пусть цилиндр закреплен внутри цилиндра с помощью нити. С разных сторон цилиндра создана разность давлений .

1.1 Определите среднюю скорость течения жидкости в зазоре $с р$ .

1.2 Определите расход жидкости (объем, протекающий за единицу времени) в зазоре.

1.3 Определите силу натяжения нити. Почему, и на сколько эта сила отличается от разности сил давления?

2. «Тонем и всплываем!»

Трубку с цилиндром расположили вертикали и закрыли ее нижний торец. Верхний торец открыт, жидкость полностью заполняет трубку. Плотность жидкости обозначим , а плотность материала цилиндра , причем .

2.1 Пусть цилиндр опускается с постоянной скоростью . Чему равна средняя скорость движения жидкости в зазоре?

Строго говоря, скорость течения жидкости в зазоре зависит от расстояния до стенки, однако для решения данной задачи нет необходимости рассматривать точное распределение скоростей жидкости, вполне достаточно определить именно среднюю скорость течения в зазоре.

2.2 Определите разность давлений жидкости между нижним и верхним основаниями цилиндра . Почему, и на сколько отличается эта разность давлений от гидростатического давления столба жидкости в зазоре?