Задача 2. «Просачивание»

1. Неподвижный цилиндр.

Сумма сил, действующих на цилиндр равна нулю, так как он покоится, поэтому

здесь - разность сил давления жидкости на торцы цилиндра;

• сила вязкого трения, действующая со стороны движущейся жидкости на боковую поверхность цилиндра.
  Жидкость в зазоре движется с постоянной скоростью, поэтому сумма сил, действующих на нее также равна нулю, поэтому можно записать
  
  Здесь и далее, мы учитываем малость толщины зазора, поэтому его площадь поперечного сечения может быть записана в виде (если пренебречь малой величиной )
  
  При записи уравнения (3) также следует учесть, что на жидкость действуют силы вязкого трения, как со стороны боковой поверхности цилиндра, так и со стороны внутренней поверхности трубки, причем различием в их площадях можно пренебречь.
  Из уравнений (1), (3) находим
  
  Как следует из последней формулы, сила натяжения нити превышает разность сил давления на величину силы вязкого трения, действующей на боковую поверхность цилиндра.
  Приравнивая силу трения к ее выражению через среднюю скорость течения воды в зазоре
  
  находим
  
  Расход жидкости равен средней скорости, умноженной на площадь поперечного сечения потока
  
  Обратите внимание на сильную зависимость расхода жидкости от толщины зазора, например, при уменьшении толщины зазора в 2 раза расход уменьшается в 8 раз!

1. «Тонем и всплываем!»

Данная часть задачи отличается от предыдущей, тем, что необходимо учитывать действие силы тяжести, как на цилиндр, так и на движущуюся жидкость. Так как на жидкость в зазоре и на цилиндр действуют тормозящие силы, зависящие от скоростей движения. По-прежнему, векторная сумма сил, действующих на цилиндр, равна нулю, поэтому

Запишем также выражение для массы цилиндра

Второе уравнение выражает условие постоянства скорости жидкости в зазоре (то есть сумма сил, действующих на нее равна нулю):

где второе слагаемое есть сила тяжести, действующая на жидкость.

Из уравнения (9) выразим силу сопротивления (с учетом выражения для массы цилиндра (10)) и подставим ее в уравнение (11)

Из этого уравнения выражаем значения разности давлений

Полученное выражение принципиально отличается от формулы для гидростатического давления столба жидкости в зазоре . Разность сил давлений (см. (9)) равна силе тяжести цилиндра уменьшенной на силу вязкого трения. Иными словами, формулы гидростатики не применимы при движении жидкости. Основные условия гидростатики – условия равновесия, а в данном случае главное – условия установившегося движения жидкости (и цилиндра). При движении тела в жидкости происходит такое перераспределение давлений, которое и обеспечивает условия стационарности потоков.

Эту идею можно развить и далее - формула для гидростатической силы Архимеда также «не работает» в данном случае. Сумма сил давлений жидкости на цилиндр равна весу цилиндра (минус сила сопротивления), а не весу жидкости вытесненной цилиндром! Формально, разность между полученным выражением (12) и гидростатическим давлением выражается формулой

Найдем из уравнения (9) силу сопротивления, действующую на поверхность диска

С другой стороны эта же сила выражается через среднюю скорость жидкости

Скорость течения жидкости в зазоре связана со скоростью движения цилиндра условием постоянства объема жидкости (объем жидкости вытесненной цилиндром равен объему жидкости, протекающей в зазоре):

Из этого уравнения легко найти среднюю скорость движения жидкости в зазоре

Отметим, что скорость течения жидкости значительно превышает скорость движения цилиндра (из ), что оправдывает сделанное в условие о практической независимости силы сопротивления от скорости движения цилиндра) Теперь решим систему уравнений (14)-(16). Находим

Наконец из равенства

определяем

Решение задачи при всплывании цилиндра аналогично.
Суммарная сила, действующая на цилиндр, равна нулю:

Суммарная сила, действующая на жидкость в зазоре, равна нулю

Исключая из этих уравнений силу сопротивления, находим разность давлений

Скорость опускания цилиндра находим, выражая силу сопротивления через среднюю скорость жидкости в зазоре и уравнение неразрывности. Опуская промежуточные выкладки, получаем