Нарисуй силы, действующие на цилиндр и на тонкий слой жидкости в зазоре; подумай о стационарности течения.

Запиши равенство сумм сил для неподвижного цилиндра и для стационарного потока жидкости (сумма сил равна нулю). Учитывай, что вязкая сила пропорциональна средней скорости по виду (1).

1. 1. Запиши для цилиндра баланс сил: разность давлений на торцах плюс сила трения на боковой поверхности равны натяжению нити (или нулю, если нить не рассматриваешь).
2. 1. Для жидкости в кольцевом сечении выпиши уравнение равновесия сил вдоль оси: сила давления, действующая на сечение потока, должна уравновесить суммарные вязкие силы от стенок.
3. 1. Подставь выражение вязкой силы через и площадь зазора (используй ).
4. 1. Выразите из полученной системы уравнений.

Нарисуй поперечный срез трубки с цилиндром и представь, какая часть сечения занята тонким кольцевым зазором и через какую область течёт жидкость.

Воспользуйся определением расхода: объём жидкости, проходящий через поперечное сечение за единицу времени, равен произведению средней скорости течения в зазоре на площадь поперечного сечения потока.

1. Найдии приближённое выражение для площади поперечного сечения тонкого кольцевого зазора, пренебрегая малыми членами порядка .
2. Запиши объём, проходящий через это сечение за время , как произведение средней скорости на эту площадь и на .
3. Раздели на , чтобы получить величину, протекающую в единицу времени — расход .
4. Вырази через найденную площадь и среднюю скорость течения в зазоре.

Нарисуй цилиндр в вертикальной трубке и представь, что при равномерном опускании объём вытесненной цилиндром жидкости утекает через зазор вниз.

Используй условие сохранения объёма: объём жидкости, который уходит через кольцевой зазор в единицу времени, равен объёму, вытесняемому цилиндром (скорость цилиндра ).

1. 1. Запиши объём вытеснения цилиндром в единицу времени: это поперечная площадь цилиндра умноженная на .
2. 1. Запиши объёмный расход через зазор как (средняя скорость в зазоре ).
3. 1. Приравняй эти два объёма и реши относительно .
4. 1. Выразите из полученной системы уравнений.

Подумай, какие силы действуют на цилиндр и на движущуюся в зазоре жидкость: теперь нужно учесть силу тяжести жидкостного столба в зазоре и массу цилиндра.

Запиши уравнение равновесия для цилиндра (сумма сил вдоль оси равна нулю) и для стационарного потока жидкости в зазоре (сумма продольных сил, включая тяжесть жидкости в объёме зазора, равна нулю).

1. 1. Для цилиндра: выпиши баланс сил вдоль оси — вес цилиндра минус сила давления сверху–снизу и минус/плюс вязкая сила равны нулю.
2. 1. Для жидкости: выпиши баланс продольных сил на объём зазора длиной : сила давления на входе минус на выходе, минус сила тяжести жидкости в этом объёме, минус суммарные вязкие силы от обеих стенок равны нулю.
3. 1. Подставь выражения для масс (через ), площади зазора и вязкой силы (через ) и используй соотношение между и из пункта 2.1.
4. 1. Выразите из полученной системы уравнений.

При всплывании поменялся знак относительной плотности, но сам подход остаётся тем же: учти направление силы тяжести и то, что поток стационарный.

Повтори выписку уравнений равновесия для цилиндра и для жидкости в зазоре, теперь с учётом того, что цилиндр направлен вверх (сила тяжести остаётся вниз), т.е. знак вклада массы цилиндра изменяет баланс давления.

1. 1. Запиши баланс сил для цилиндра: вес минус разность давлений плюс/минус вязкая сила (учти направление вязкого сопротивления при всплытии) равно нулю.
2. 1. Для жидкости в зазоре выпиши баланс продольных сил, включая тяжесть жидкости в объёме зазора и вязкие силы от обеих поверхностей.
3. 1. Подставь выражения для масс и вязкой силы и используй соотношение объёмов (теперь направлен вверх).
4. 1. Выразите из полученной системы уравнений.