Насос — BelPhO

Условие

Республиканская олимпиада 2019 10 класс № 3

Поршневой насос состоит из цилиндрического сосуда с подвижным поршнем, соединенным с электромотором (на рисунке не показан). К цилиндру подключены два клапана 1 и 2. Каждый клапан можно считать идеальным: он пропускает газ (без сопротивления) в одну сторону и полностью перекрывает поток при изменении его направления. Насос подключают к сосуду, объем которого равен

. Электродвигатель заставляет поршень периодически перемещаться от начального положения (когда объем камеры равен

), до конечного положения (в котором объем камеры равен

) и обратно.

Численные значения параметров установки следующие:

объем сосуда л;
полный объем камеры насоса л;
объем камеры при вдвинутом поршне («мертвое» пространство) л;
атмосферное давление $атм$ Па;

Насос работает медленно, поэтому все процессы следует считать изотермическими. Трением и вязкостью воздуха можно пренебречь.

Часть 1. Накачка.

Для накачивания воздуха в сосуд клапаны устанавливают так, чтобы клапан 1 открывается, когда газ входит в сосуд (естественно, когда давление в камере насоса незначительно превышает давление в сосуде) и закрывается, не давая газу выходить из сосуда. Клапан два соединяет камеру насоса с атмосферой, он не дает выходить воздуху из камеры насоса и открывается, когда давление в камере насоса становиться чуть ниже атмосферного давления.

Обозначим - давление в сосуде после циклов работы насоса.

1.1 После совершения циклов работы насоса давление в сосуде поднялось до значения . Постройте схематический график процессов в камере насоса на диаграмме , где - давление и объем газа в камере. Началом цикла считайте положение полностью выдвинутого поршня () и давления в камере

Запишите уравнения всех процессов , укажите начальные и конечные значения параметров газа на каждом участке цикла.
Все результаты (в виде формул) занесите в таблицу 1.

Таблица 1. Цикл накачки.

Начальное состояние		Конечное состояние
Объем	Давление	Объем	Давление

1.2 Перед началом работы насоса давление в сосуде равно атмосферному давлению . На бланке 1 постройте графики двух первых циклов. Оцифровку оси давления проведите самостоятельно. В таблице укажите численные значения параметров в вершинах цикла.

1.3 Пусть давление в сосуде после циклов равно $атм$ . На бланке 2 постройте график одного следующего цикла. Оцифровку оси давления проведите самостоятельно, она может отличаться от оцифровки предыдущего графика. В таблице укажите численные значения параметров в вершинах цикла.

1.4 Покажите, что давление в сосуде после циклов , может быть выражено через давление после цикла с помощью рекуррентной формулы

Где - постоянные величины. Выразите значения параметров через характеристики установки и атмосферное давление .

1.5 Найдите, до какого максимального давления можно поднять давление в сосуде.

1.6 Обозначим - отклонение давления в сосуде после циклов от максимально возможного. Выразите величину через и параметры из формулы (1).

1.7 Получите формулу, описывающую в явном виде давление в сосуде в зависимости от числа совершенных циклов . Постройте схематический график этой зависимости.

1.8 Рассчитайте, сколько циклов должен совершить насос, чтобы давление в сосуде достигло значения .

Часть 2. Откачка.
Насос может, как накачивать воздух в сосуд, так и откачивать его из сосуда. Для этого только необходимо изменить направление пропускания клапанов (см. рис).

2.1 Пусть после циклов давление в сосуде опустилось до значения . Постройте схематический график цикла откачки воздуха из сосуда , где - давление и объем газа в камере. Началом цикла считайте положение полностью задвинутого поршня () и давление в камере насоса .
Запишите уравнения всех процессов , укажите начальные и конечные значения параметров газа на каждом участке цикла. Все результаты (в виде формул) занесите в Таблицу 2, аналогичную Таблице 1.