Картезианский водолаз

Условие

Республиканская олимпиада 2021 10 класс № 2

Картезианский водолаз – механическая игрушка, основанная на изменении силы Архимеда при увеличении внешнего давления. Первое описание водолаза было дано итальянским учёным Рафаэлло Маджотти в 1648 году. Его водолазы, а он называл их «флакончики», плавали в высоких цилиндрических сосудах, избыточное давление в которых создавалось закрывающей их ладонью или, если сосуд достаточно узок, большим пальцем.

В скором времени игрушка стала популярной. С начала XVIII века эта игрушка стала называться Декартов или Картезианский (по-латыни Декарт произносится как Картезий) водолаз. а также «Картезианский дьявол», «Поплавок Декарта».

Несмотря на почти четырехвековую историю, строгое описание поведение этого поплавка вызывает затруднение у современных «олимпиадников».

Рассмотрим тонкостенную трубку, закрытую с одного конца и открытую с другого (можно назвать ее пробирка), которая помещается в сосуд с водой открытым концом вниз. Будем считать, что центр тяжести трубки смещен к открытому краю, поэтому трубка в сосуде всегда располагается вертикально. Температура в системе остается постоянной.

Будем считать, что все параметры установки заданы: длина трубки см, площадь ее поперечного сечения , плотность воды $кг м$ , ускорение свободного падения $м с$ , давление воздуха в сосуде (оно может изменяться).

Обозначим: - глубина погружения трубки по ее нижнему краю; - высота столбика воды в трубке.

Давление воздуха будем измерять в единицах водяного столба, в этом случае гидростатическое давление воды просто равно разности высот (давление и длина измеряются в одних единицах)

Часть 1. Вынужденное погружение.

В данной части задачи будем считать, что давление воздуха в сосуде постоянно и равно . Пустую пробирку аккуратно опускают открытым концом в воду. При этом она свободно плавает на поверхности воды, погрузившись на глубину (где - известный безразмерный коэффициент). Затем пробирку удерживают рукой на некоторой глубине , которая может быть как меньше, так и больше глубины пробирки.

1.1 Найдите зависимость высоты столбика воды в трубке от глубины погружения . Постройте схематический график полученной зависимости.

1.2 Найдите зависимость силы Архимеда, действующей на трубку, от глубины погружения . Постройте схематический график полученной зависимости.

1.3 Найдите максимальное значение силы Архимеда, укажите, при каком значении оно реализуется.

1.4 Выразите силу Архимеда, действующую на трубку, через давление воздуха в трубке и глубину ее погружения .

1.5 Получите строгое уравнение, позволяющее получить значение глубины , на которую надо погрузить трубку, чтобы она утонула и больше самопроизвольно не всплывала. Рассчитайте численное значение этой глубины при нормальном атмосферном давлении $Па$ и .

Часть 2. Трубка в закрытом сосуде.

Пробирку погрузили в воду, как описано в части 1. Она плавает, погрузившись в воду на глубину при давлении воздуха в сосуде . Сосуд закрывают и начинают плавно изменять давление воздуха в нем.

2.1 При каком давлении воздуха , пробирка начнет тонуть? Получите строгое уравнение, позволяющее найти эту величину. Рассчитайте численное значение этой величины при $Па$ и .

Часть 3. Конструкторская.

3.1 Предложите простой вариант рассмотренной игрушки, в котором водолаза можно заставить погружаться легким нажатием пальца. (конечно, самого водолаза трогать нельзя). Укажите примерные численные характеристики вашей игрушки.

Примечания

1. Рисунки скачаны из Интернета, поэтому на их нумерацию обращать внимание не следует. ↩

Режим тренировки →

Условие

Примечания

Похожие задачи