1.1 В начальном состоянии положении (точка 1) поршень находится в крайнем правом положении, объем газа - , давление .

Поршень начинает двигаться влево, сжимая газ в камере. Пока давление газа в камере насоса не достигнет давления газа в сосуде, оба клапана будут закрыты, поэтому процесс сжатия будет описываться уравнением

Давление газа в камере достигнет значения давления в сосуде , года объем уменьшится до значения (точка 2), которое определяется выражением

После этого откроется клапан 1 и газ начнет поступать в сосуд.

На этом участке происходит сжатие газа в объеме сосуда и камеры насоса, поэтому описывается уравнением

Такое сжатие будет продолжаться до тех пор, пока поршень не достигнет крайнего левого положения (точка 3), в котором объем газа в камере насоса равен , давление достигнет значения

Это же давление будет и в сосуде, на остальных участках цикла оно изменяться не будет.

На следующем этапе поршень начинает обратное движение (вправо), при этом оба клапана опять оказываются закрытыми, пока давление в камере насоса не опустится до атмосферного давления. На этом участке уравнение процесса имеет вид

Давление в камере насоса станет равным атмосферному, когда объем газа увеличится до значения , которое определяется формулой

При дальнейшем смещении поршня откроется клапан 2 и атмосферный воздух будет поступать в камеру насоса, при этом давление воздуха в камере насоса будет оставаться равным атмосферному .

Для наглядности все характеристики цикла сведены в таблицу и показаны на графике.

Цикл накачки.

1.2 – 1.3 Расчеты параметров требуемых циклов, проведенные по формулам таблицы 1 приведены в соответствующих таблицах и на графиках.

Циклы 1, 2

Таблица состояний.

Цикл

Таблица состояний.

1.4 Фактически требуемая формула получена в пункте 1.1 – формула (4):

Из сравнения с формулой, приведенной в условии (), следует, что ее параметры задаются формулами

1.5 Предельное давление может быть найдено как путем чисто физических рассуждений, так и формально математически.
Физические рассуждения. Максимально возможное сжатие воздуха в камере насоса достигается, когда поршень приходит в крайнее левое положение, а при этом клапан сосуда еще не открывается
В этом случае из выражения (1) следует формула для максимального давления

Формально математически этот же результат можно получить из рекуррентной формулы, полагая в ней, что давление перестало изменяться, т.е. . В этом случае получаем

1.6 Из обозначения выразим значение давления и подставим в рекуррентную формулу

С учетом выражения (9'), получаем, что

1.7 Формула (11), указывает, что величины образуют геометрическую прогрессию, поэтому

С помощью обратной подстановки получим

График этой зависимости имеет вид кривой, монотонно стремящейся к предельному значению.

1.8 для расчета числа циклов удобно воспользоваться формулой (12). Проведем численный расчет ее параметров:

• знаменатель прогрессии ;

• максимальное давление ;

• начальное отклонение ;

• конечное отклонение .

Теперь из формулы (12) найдем

2.1 Решение этой части полностью аналогично решению первой части задачи, поэтому приведем его кратко.

Цикл откачки также состоит из четырех этапов. В соответствии с условием начнем с состояния, когда поршень находится в крайнем левом положении (давление в этом состоянии равно атмосферному) и начинает двигаться вправо. При этом оба клапана закрыты: газ в камере насоса расширяется, давление падает. Когда давление в камере становится равным давлению в сосуде, открывается клапан 1 и газ частично начинает выходить из сосуда. Поршень смещается в крайнее правое положение и начинает возвращаться обратно, при этом клапан 1 закрывается. Давление в камере растет и когда достигает атмосферного открывается клапан 2 и газ частично выбрасывается в атмосферу.
Эти стадии показаны на рисунке, начальные, конечные значения параметров газа в камере насоса и уравнения процессов приведены в Таблице 2. Схематическая диаграмма цикла показана на рисунке.

Таблица 2. Цикл откачки.

Диаграмма цикла откачки.

2.2 Уменьшение давления в сосуде происходит на 3 этапе цикла откачки, уравнение процесса на этом этапе позволяет получить рекуррентное соотношение, связывающее давления до и после очередного цикла

Подставляя значения для объема (при котором начинается выход газа из сосуда), получим

Это соотношение полностью аналогично соотношению (4'), проанализированному в первой части задачи. Поэтому можно переписать полученные ранее решения, только при этом надо поменять местами значения объемов и . Тогда зависимость давления в камере от числа проведенных циклов опишется формулой, аналогичной формуле (13):

2.3 Подстановка численных значений параметров в эту формулу и последующий расчет дает значение давления в камере после 50 циклов откачки:

2.4 Предельное минимальное значение давления воздуха в сосуде равно.