10.5 При подъеме шара, на него действуют: сила тяжести , подъемная сила Архимеда , сила сопротивления , пропорциональная скорости подъема. Следовательно, уравнение второго закона Ньютона для шара будет иметь вид

Так как шар движется в воздухе достаточно медленно, то можно считать, что в любой момент времени сила сопротивления

уравновешивает разность сил Архимеда и тяжести. Иными словами, можно пренебречь инерционными эффектами и положить . Тогда из уравнения (1) получим выражение для скорости подъема

Подъемная сила вычисляется по формуле

где - плотности холодного (наружного) и теплого (внутри шара) воздуха. Эти плотности можно выразить из уравнения состояния идеального газа :

Используя формулы (3)-(4), получаем выражение для скорости подъема

Неизвестный коэффициент можно получить из аналогичной формулы для начальной скорости. Таким образом, окончательное выражение для скорости подъема принимает «несколько угрожающий» вид

По этой формуле с помощью приведенного в условии графика зависимости температуры от времени можно построить зависимость скорости подъема от времени. Для ускорения последующих расчетов в формуле (6) необходимо провести промежуточные вычисления (приведя все величины в систему СИ) и привести ее к виду, пригодному для расчетов

где - температура внутри шара, измеренная по шкале Цельсия. Результаты расчетов приведены в таблице и на графике.

Таким образом, мы получили, что скорость подъема убывает по линейному закону. Время подъема составляет примерно . Следовательно, высота подъема .