Запаздывание — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2006 9 класс № 2

Сначала рассмотрим общие подходы к решению данной задачи.
Схематически изобразим (рис. 1) закон движения тела . Сигнал, посланный в момент времени распространяется по закону . Когда сигнал достигнет движущегося тела, их координаты будут равны, поэтому момент времени отражения сигнала , может быть найдено из уравнения

Это уравнение позволяет найти момент времени отражения

как функцию времени испускания сигнала

. Отраженный сигнал движется в обратном направлении с той же скоростью, поэтому он вернется в исходную точку в момент времени

, для которого выполняется соотношение

Согласно описанной в условии методике, за положение объекта в момент прихода сигнала принимается его положение в момент отражения сигнала. На рисунке отмечена ошибка определения закона движения

, связанная с тем, что координата движущегося тела в момент отражения сигнала, приписывается изображению в момент прихода отраженного сигнала.
Итак, в принципе, первый путь решения задачи проясняется: из уравнения (1) находим как функцию ; вычисляем координату , затем из уравнения (2)*

выражаем

как функцию

; наконец записываем закон движения¹ изображения

.*
Однако на этом пути придется решать два уравнения (1) и (2), при этом необходимо находить промежуточную функцию

, которая не нужна в окончательном результате. Поэтому можно элементарно избавиться от этой функции, переписав уравнение (1) с помощью соотношения (2)

Из этого уравнения можно найти время отражения как функцию времени приема отраженного сигнала

*, а закон движения изображения далее можно определить* двумя способами

либо

Этот путь явно короче: решение одного уравнения и одна подстановка.
Теперь еще одно дополнительное осложнение – а если координата объекта отрицательна? Сделаем рисунок для этого варианта (рис. 2) Тогда следует рассматривать сигнал, распространяющийся в отрицательном направлении оси

, в этом случае уравнение (1) надо заменить на

соответственно изменится и более удобное уравнение

¹ [^1]

(3)

Уравнения (3) и (3*) отличаются только знаком правой части, поэтому их можно объединить

или переписать в виде, который отражает явный физический смысл (расстояние до объекта равно расстоянию, которое проходит сигнал):

Кстати, при любом движении (не только вдоль оси ) – справедливо такое уравнение!
Замечательно, но уравнение (7) или равносильное ему (6) может иметь несколько корней. Конечно, исходя из постановки задачи², следует выбирать только те корни, для которых выполняется условие

Каждый раз придется анализировать корни – искать их смысл, принимать, или отбрасывать. По-видимому, все же сначала лучше анализировать, а потом искать то, что нужно. Такой анализ можно унифицировать: построить график закон движения и график распространения сигнала (рис.3), а затем рассмотреть точки их пересечения. При этом следует посмотреть, как меняется «картинка» при изменении параметров задачи.
Применим эти общие рассуждения к тем вариантам движения объекта, которые описаны в условии задачи.

1. Равномерное движение.

Построим график закона движения тела

который является прямой линией (рис. 4)
Также изобразим графики движения сигналов, испущенных в различные моменты времени. Легко заметить, что необходимо решать различные уравнения, в зависимости от знака координаты объекта в момент отражения сигнала. Эти два варианта легко различимы. Объект пересекает начало координат

в момент времени

Если сигнал послан в этот момент времени, то отражение и возвращение произойдут мгновенно, то есть при

.
Итак, при

, для определения закона движения следует решить уравнение

² Сигнал распространяется во все стороны пространства, но только «из прошлого в будущее».
В реальности, такая ситуация не очень приятна, как для объекта, так и для наблюдателя. Но в рамках нашей модели материальных точек, будем считать, что наши «герои» успешно разойдутся. Более правдоподобная ситуация будет рассмотрена чуть позже.

из которого следует, что , а закон движения имеет вид

При уравнение, для определения времени отражения, имеет вид

из которого определяем и закон движения изображения

Итак, закон движения изображения в рассматриваемом случае имеет вид
$при при$
здесь обозначено (это обозначение мы будем использовать и в дальнейшем).

График этой функции показан на рисунке 5, там же изображен и график движения самого объекта.
Скорость движения изображения изменяется скачком при переходе объекта через начало координат: при приближении объекта его изображение движется быстрее, при удалении наоборот – изображение движется медленнее:

при при

Попытайтесь качественно объяснить этот эффект изменения скорости.

На этом решение данной части задачи не заканчивается – необходимо отдельно рассмотреть движение объекта со скоростью, большей скорости сигнала

.
Опять построим графики законов движения объекта и сигналов, посланных в различные моменты времени (рис. 6 – на котором ради экономии места масштаб оси времени изменен по сравнению с предыдущими рисунками). В этом случае ситуация кардинально изменяется. Во-первых, сигналы, посланные в моменты времени

не догонят объект, следовательно, не дают изображения (оно исчезает!).

Во-вторых, сигналы, посланные при , отразятся от объекта дважды: один раз при приближении самолета (в момент времени ) и при его удалении (в момент времени ). Второе отражение произойдет, когда объект догонит сигнал. Таким образом, при сонар⁴ будет давать два изображения.
Для расчета закона движения первого изображения следует решить уравнение

которое совпадает с уравнением (1.3), и поэтому приводит к тому же закону движения (напомним, справедливому только при )

Поразительно, так как , скорость изображения отрицательна – изображение движется в сторону противоположную движению объекта. Объяснение этого парадокса дано на рисунке 7. Сигнал, посланный раньше (), возвратится позже (), поэтому быстрее будет поступать информация о более близком положении объекта.

Для описания движения второго изображения необходимо решить уравнение, совпадающее с уравнением (1.5),

что приводит к аналогичному закону движения изображения

Графики этих законов движения построены на рисунке 8.

Скорости движения изображений легко найти из законов движения

при

при

Таким образом, изображения появляются в момент пересечения объектом начала координат, затем одно медленно удаляется в туже сторону, что и движущийся объект, а второе – движется быстрее в противоположную сторону.

⁴ [^4]

2. Равноускоренное движение.

Если при равномерном движении пришлось рассматривать четыре варианта, то сколько их будет при равноускоренном движении объекта?
При законе движения

объект все время находится с одной стороны от наблюдателя (), поэтому достаточно рассмотреть только сигнал, распространяющийся в положительном направлении оси . Также обратим внимание, что скорость объекта изменяется и на одних интервалах больше скорости сигнала, а на других меньше.

Графический анализ взаимного расположения графика движения объекта (парабола) и сигналов (лучей прямых) показывает (рис. 9), что от одного сигнала, испущенного в момент

, может быть зарегистрировано два отражения

- один раз сигнал догоняет объект, второй раз объект догоняет сигнал.
Возможна также ситуация, когда отраженных сигналов не будет – сигнал не может догнать объект, разогнавшийся до скорости большей скорости сигнала.
Граничным между этими случаями, является вариант, при котором график распространения сигнала является касательным к параболе – графику закона движения объекта (рис. 10).

Легко понять, что в этом случае в момент отражения скорость объекта

сравнивается со скоростью сигнала. Это позволяет найти этот момент (последней возможности догнать объект), используя уравнение

. Из которого следует

В этот момент находится в точке с координатой

Максимальный момент отправления сигнала, который может догнать объект, определяется формулой

а соответствующий момент возвращения «последнего» сигнала

На первый взгляд, кажется, что решение задачи опять надо разбивать на различные этапы, но ведь мы разработали другой метод решения, основанный на «привязке» к моменту регистрации, а не к моменту «запуска». Поэтому рассмотрим графическую иллюстрацию уравнения (3), включающего законы движения объекта и отраженного сигнала. Этот метод позволяет решить задачу единообразно для любого момента времени регистрации. Для графического анализа этого уравнения необходимо «зеркально» отразить рисунок 1.9, в результате получим рисунок 11. Здесь также есть значения моментов регистрации

, которым соответствуют два момента отражения, следовательно,

и два изображения; есть значение - минимальное время прихода отраженных сигналов (независимо от времени их отправления). Это время находится аналогично (2.5)

Таким образом, при общее уравнение (3), имеющее вид

имеет два корня

Соответствующие этим решениям законы движения изображений имеют вид

Проанализируйте эти функции самостоятельно, их графики показаны на рисунке 1.12.

Рассмотрите также физический смысл всех ветвей, соотнесите их с результатами проведенного качественного анализа. Для подсказки эти ветви обозначены на рис. 1.11 и 1.12 одинаково. А по существу, на них изображена одна и та же парабола, только повернутая и немного деформированная.

Примечания

1. Все кинематические характеристики движения изображений будем «штриховать» ↩
2. Сигнал распространяется во все стороны пространства, но только «из прошлого в будущее». 3 В реальности, такая ситуация не очень приятна, как для объекта, так и для наблюдателя. Но в рамках нашей модели материальных точек, будем считать, что наши «герои» успешно разойдутся. Более правдоподобная ситуация будет рассмотрена чуть позже. ↩
4. Не будем обсуждать, можно ли реально зарегистрировать оба отраженных сигнала – в нашем рассмотрении затуханием сигнала пренебрегаем. ↩

← Условие Режим тренировки →

Решение

Примечания

Похожие задачи