Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.В этой задаче мы предлагаем Вам рассмотреть колебания в
Колебательный контур состоит из конденсатора, емкость которого можно изменять, увеличивая или уменьшая расстояние между пластинами, и катушки с индуктивностью
Рис.1
Часть первая. Толчок.**
В начальный момент времени емкость конденсатора равна
1.1 Покажите, что при таком изменении расстояния емкость конденсатора уменьшается на ту же относительную величину, т.е. что
Подумай, как меняется геометрия конденсатора при увеличении расстояния между пластинами; какой параметр ёмкости зависит от расстояния?
Вспомни формулу ёмкости параллельных пластин:
- Запиши ёмкость до изменения
и после в виде и соответственно. - Выпиши разность
и раздели на для получения относительной величины . - Раздели числитель и знаменатель на
и представь результат через . - Разверни выражение в малом параметре
и вырази через .
1.1 При увеличении расстояния между пластинами на величину
Относительное изменении емкости:
Причем это соотношение будет справедливо при любом
1.2 Определите относительное изменение напряжения на пластинах
*Если изменения некоторых двух величин (*
1.2 Т.к. перемещение мгновенное, заряд на конденсаторе не изменяется, поэтому:
т.е.
Относительно изменение напряжения:
Выражения для энергий:
где
Поэтому:
Периоды колебаний в контуре до и после перемещения равны соответственно:
Относительное изменение:
1.3 Покажите, что отношение максимального напряжения на конденсаторе к полной энергии контура остается постоянным при увеличении расстояния между пластинами.
Сравни, как меняются напряжение и энергия при описанной операции; заметишь ли связь между их относительными изменениями?
Воспользуйся результатами из пункта 1.2: если относительное изменение энергии равно относительному изменению напряжения, то можно сделать вывод о пропорциональности между ними.
- Запиши полученные ранее выражения для относительных изменений
и . - Сравни эти выражения и отметь их равенство.
- Из равенства относительных изменений сделай вывод о пропорциональности
. - Вырази отношение
через величины, полученные в предыдущих шагах (покажи, что оно не меняется).
1.3 Т.к. относительные изменения напряжения и энергии одинаковы (выражения (6) и (8)), то можно записать следующее равенство:
из которого следует, что энергия пропорциональна напряжению, а их отношение остается постоянным:
1.4 Покажите, что произведение квадрата периода колебаний на полную энергию также не изменяется в таком процессе.
Наблюдая зависимости из пункта 1.2, обрати внимание на связь между энергией и периодом: как меняется энергия при изменении периода?
Используй соотношение периода
- Выпиши зависимость
и результат для через из пункта 1.2. - Объедини оба соотношения, чтобы получить зависимость
от . - Преобразуй это соотношение к виду степени: установи показатель, при котором
. - Вырази
через из полученной системы и покажи, что произведение остаётся неизменным.
1.4 Аналогично, используя выражения (8) и (10), получаем:
т.е.
2.1 Пусть
Заметь, что в условии пластины увеличивают и затем возвращают расстояние так, что энергию повышают дважды за каждый период — как это влияет на накопление энергии?
Опиши процесс как последовательное умножение энергии на множитель
- Запиши условие увеличения энергии в 10 раз в виде
. - Взяв логарифм, найди
. - Учти, что увеличение происходит дважды за период, поэтому число периодов равно
. - Вырази искомое время
в полных периодах через найденное (то есть запиши ).
2.1 При возвращении пластин на первоначальное расстояние, энергия конденсатора не изменяется, т.к. эта операция проводится при нулевом напряжении на пластинах конденсатора. Поэтому два раза за период колебаний энергия увеличивается в
Количество перемещений находит из условия:
Получаем:
Т.к. увеличение энергии происходит дважды за период, то время необходимое для увеличения энергии в 10 раз:
2.2 Предположим, что индуктивность обладает небольшим сопротивлением
Если в катушке есть малое сопротивление, то в каждой половине периода часть энергии теряется на тепло; какую величину нужно компенсировать прибавкой энергии?
Оцени среднюю мощность потерь на сопротивлении (через среднеквадратичное или макс. напряжение) и приравняй энергию, теряемую за половину периода, к приращению энергии
- Оцени выделяемую за половину периода энергию на сопротивлении как
, где — средняя мощность потерь. - Запиши выражение для приращения энергии за половину периода: примерно
, где — начальная полная энергия контура. - Приравняй потери и выигрыш:
и подставь выражения для и через , и . - Вырази требуемую величину
из полученного соотношения (получи условие на минимальную величину для поддержания колебаний).
2.2 Т.к. сопротивление небольшое, то на протяжении половины периода напряжение изменяется по синусоидальному закону. Тогда средняя мощность, выделяемая на сопротивлении:
Для поддержания колебаний необходимо, чтобы увеличение энергии за половину периода полностью компенсировало тепловые потери:
Поэтому:
Похожие задачи
Задача 11-3
С развитием технологий появляются все новые материалы с удивительными свойствами. Два таких метаматериала рассматриваются в данной задаче.
У Р Б П ≈5/5 Т3
Электростатический генераторвар. 1
Электростатический генератор – это устройство, в котором высокое постоянное напряжение создаётся при помощи механического переноса заряда.
В этой …
Стабилизация
Приборы и оборудование: источник тока (батарейка
Пилообразный и импульсный ток
- Пусть некоторый источник напряжения (ИН) создаёт напряжение
«пилообразной» формы в зависимости от времени (рис.1). К данному источнику …
Короткий толчок
Если на тело действует некоторая сила в течение малого промежутка времени
Задача 11-1
В схеме, показанной на рисунке, все элементы идеальные (активное сопротивление катушки равно нулю, внутреннее сопротивление источника напряжения …
У Р Б П ≈5/5