1.1 Пусть электрический ток равномерно протекает вдоль однородного цилиндра. Используя закон Ома для участка цепи, покажите, что плотность электрического тока внутри цилиндра рассчитывается по формуле

где - напряженность электрического поля внутри цилиндра, - удельная проводимость материала цилиндра (величина обратная удельному электрическому сопротивлению ).

1.2 Пусть одинаковые частицы (заряд каждой равен ) движутся с одинаковыми скоростями . Концентрация частиц в потоке равна . Чему равна плотность электрического тока в данном потоке частиц?

1.3 Покажите, что средняя скорость направленного движения электронов в металле при протекании постоянного электрического тока пропорциональна напряженности электрического поля в металле

где коэффициент пропорциональности называется подвижностью электронов. Выразите удельную проводимость металла через подвижность электронов и их концентрацию в металле.

2. Терморезистор.

Энергетические состояния электронов в кристалле состоят из нескольких зон. Верхняя заполненная зона называется валентной зоной, а следующая за ней зона возможных состояний – зоной проводимости. Между ними располагается запрещенная зона – электроны в кристалле не могут иметь такие значения энергии! Разность энергий между верхним краем валентной зоны и нижним краем зоны проводимости называется шириной запрещенной зоны и обозначается .

Электроны, находящиеся в валентной зоне, «привязаны» к своим атомам и не могут перемещаться по кристаллу, следовательно, не могут быть носителями электрического тока. Электроны, находящиеся в зоне проводимости являются свободными, поэтому служат носителями электрического тока.

В рассматриваемом кристаллическом кремнии при температуре абсолютного нуля все электроны находятся в валентной зоне, зона проводимости пуста, поэтому в этом состоянии полупроводник является изолятором. При повышении температуры вследствие теплового движения некоторые электроны могут переходить из валентной зоны в зону проводимости. В этом случае в зоне проводимости появляется свободный электрон, а в валентной зоне дырка. Скорость генерации электронно-дырочных пар (число рождающихся в единице объема в единицу времени электронно-дырочных пар) в заданном полупроводнике зависит только от температуры.

Таким образом, носителями электрического тока в полупроводниках являются свободные электроны и дырки. Причем дырки можно рассматривать как частицы с положительным зарядом равным элементарному заряду. Концентрация свободных электронов в полупроводнике обозначается , концентрация дырок . Однако в чистом полупроводнике (таком, как рассматривается в данной задаче) концентрации электронов и дырок одинаковы, поэтому используйте единое обозначение для их концентрации . Возможен и процесс, обратный рождению электронно-дырочной пары – электрон может перейти из зоны проводимости в валентную зону, при этом пара электрон-дырка исчезает. Такой процесс называется рекомбинацией. Очевидно, что скорость рекомбинации (число исчезающих в единице объема в единицу времени электронно-дырочных пар) пропорциональна произведению концентраций электронов и дырок.

При постоянной температуре полупроводника устанавливается динамическое равновесие – среднее число рождающихся электронно-дырочных пара становится равным числу пар, исчезающих вследствие рекомбинации: .

Концентрация свободных электронов в этом случае называется равновесной концентрацией, ее обозначим . Равновесная концентрация свободных электронов зависит только от абсолютной температуры и определяется формулой

где - постоянная Больцмана; - постоянная для данного вещества величина; - экспоненциальная функция.

2.1 Используя физические характеристики кристаллического кремния, вычислите его удельную электрическую проводимость при комнатной температуре .

2.2 При малом изменении температуры можно считать, что проводимость кремния изменяется по линейному закону

Рассчитайте температурный коэффициент проводимости для кристаллического кремния при комнатной температуре. Изменением подвижностей электронов и дырок при изменении температуры можно пренебречь.

3. Фоторезистор.

Электроны могут переходить в зону проводимости и при поглощении кванта света, в этом случае также образуется пара носителей тока «свободный электрон – дырка». Это явление называется внутренним фотоэффектом. На этом принципе работают полупроводниковые приборы для измерения интенсивности света (в том числе инфракрасного диапазона) – фоторезисторы.

Если энергия фотона превышает энергетическую ширину запрещенной зоны, то он может поглотиться, в некоторых случаях поглощения фотона образуется электронно-дырочная пара. Отношение числа рожденных пар к числу поглощенных фотонов называется квантовым выходом фотоэффекта (обозначим эту величину ).

Поглощение света характеризуется коэффициентом поглощения . Величина (при ) равна отношению числа фотонов, поглощенных в тонком слое вещества толщиной , к числу фотонов падающих на этот слой.

Для кристаллического кремния зависимость коэффициента поглощения от частоты падающего света описывается приближенной формулой

где - энергия фотона (в электрон-вольтах), - эмпирическая постоянная.

Фоторезистор представляет собой тонкий кристаллический кремниевый слой. К краям слоя подведены металлические токопроводящие контакты с внешними выводами. Пластинка полностью освещается светом, падающим на нее нормально сверху. Толщина полупроводникового слоя достаточно мала, так что в рассматриваемом далее спектральном диапазоне выполняется условие . Температуру пластинки с полупроводниковым слоем можно считать постоянной и равной комнатной.

3.1.1 Вычислите длину волны красной границы фотоэффекта .

3.1.2 Для упрощения дальнейших расчетов выразите коэффициент поглощения кремния как функцию от величины (где - длина волны падающего света): .

3.1.3 Вычислите скорость генерации электронно-дырочных пар посредством фотоэффекта . Выразите данную величину через характеристики падающего света (длину волны , интенсивность - энергию, падающую в единицу времени на площадку единичной площади) и необходимые вам характеристики кремния, приведенные в справочной таблице.

3.2.1 Запишите уравнение, описывающее скорость изменения концентрации свободных электронов в полупроводнике, освещаемом светом. Учтите, что электронно-дырочные пары появляются не только под действием теплового движения, но и вследствие фотоэффекта.

3.2.2 Пусть в результате кратковременного светового импульса концентрация свободных электронов превысила термодинамическую равновесную концентрацию на малую величину (то есть , причем ). Покажите, что изменение этого отклонения за малый промежуток времени подчиняется уравнению

где - некоторая постоянная, называемая временем жизни электронно-дырочной пары (ее численное значение для кристаллического кремния приведено в Справочной таблице).

3.2.3 Выразите скорость тепловой генерации и скорость рекомбинации через концентрацию носителей тока и известные параметры кремния, приведенные в Справочной таблице.

3.2.4 Пусть фоторезистор непрерывно освещается светом, в этом случае концентрация носителей достигает некоторого стационарного значения. Найдите отношение этой концентрации к равновесной концентрации , как функцию длины волны (лучше ) и интенсивности падающего излучения .

3.3 Измерение интенсивности света.
Фоторезистор подключают к источнику постоянного напряжения и измеряют силу тока через него. При отсутствии освещения сила тока в цепи равна (темновой ток).

3.3.1 Найдите зависимость силы тока в цепи от характеристик падающего излучения (длины волны и интенсивности).

3.3.2 Постройте примерный график зависимости отношения силы тока в цепи к темновому току от интенсивности падающего света (в диапазоне от нуля до ) с длиной волны .

3.3.3. Постройте примерный график зависимости от длины волны падающего света в диапазоне от до . Считайте, что интенсивность падающего излучения постоянна и равна .

Справочная таблица.