1.1 По закону Ома для участка цепи сила тока равна

Подставляя известные формулы:

• сопротивления проводника ;
• связи напряжения и напряженности ;
• связи силы и плотности тока

в уравнение (1), получим , откуда следует, что . Очевидно, что направление движения заряженных частиц совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля, поэтому

1.2 За время площадку площадью , расположенную перпендикулярно векторам скоростей частиц, пересекут частицы, находящиеся от площадки на расстоянии . Объем области, опирающейся на выделенную площадку, частицы в котором пересекут площадку равен , число частиц в нем , они переносят заряд . По определению плотности тока, получим

1.3 Приравнивая выражения для плотности тока (2) и (3), получим

Из этой формулы выразим среднюю скорость движения частиц . Сравнивая это выражение с определением подвижности , находим, что проводимость металла находится по формуле

2.1 Для вычисления удельной проводимости полупроводника необходимо учесть, что ток обусловлен движением как свободных электронов, так и дырок. Не смотря на то, что электроны и дырки движутся в противоположных направлениях, электрические токи, обусловленные их движением, направлены в одну сторону (в сторону движения положительно заряженных дырок). С помощью формулы (5) находим

При подстановке численных значений из Таблицы справочных материалов их необходимо перевести в единицы системы СИ:

2.2 Из приведенной в условии формулы

Следует, что температурный коэффициент равен

При малых изменениях температуры отношение приращений следует заменить соответствующей производной .

При повышении температуры увеличивается концентрация носителей тока, что и приводит к увеличению проводимости. Так проводимость пропорциональна концентрации носителей, то

Выражение для равновесной концентрации приведено в условии задачи. Указанное отношение проще вычислить с помощью известного математического приема (хотя можно пользоваться и простыми правилами вычисления производных):

При расчетах необходимо правильно перевести электрон-вольты в джоули с помощью соотношения :

3.1.1 Красной границе фотоэффекта соответствую фотоны, энергия которых равна ширине энергетической зоны

Расчет длины волны не представляет труда м ,663⋅10Дж⋅с⋅0,3⋅10 hchcс−6 =E⇒λ==≈0,1⋅10м=0,1мкм (12) gкр.−19 λE6,1⋅10Кл⋅,112эВ кр

3.1.2 Преобразуем выражение для коэффициента поглощения к виду, удобному для дальнейших расчетов:

Для тех, кто не знаком с производными: можно также воспользоваться приближенными формулами для расчета изменения функций.

Здесь - постоянная величина; - длина волны красной границы фотоэффекта.

3.1.3 В единицу времени на пластинку падает фотонов ( - площадь поверхности), из них поглощается, что приводит к появлению электронно-дырочных пар. Следовательно, в единице объема в единицу времени появляется пар электронов (это есть скорость генерации).

3.2.1 Концентрация электронов в проводнике изменяется в ходе генерации и регенерации, поэтому уравнение изменения концентрации может быть записано в виде

3.2.2 При отсутствии освещения скорость изменения концентрации носителей тока можно представить в форме уравнения

Представим концентрации носителей тока в виде . Скорость рекомбинации пропорциональна квадрату концентрации свободных электронов, поэтому запишем , где - некоторый коэффициент пропорциональности. Теперь уравнение (11) принимает вид

При можно пренебречь слагаемым пропорциональным . Кроме того, равновесная концентрация носителей удовлетворяет условию . Таким образом, уравнение (12) приобретает требуемый вид

Введенный коэффициент рекомбинации выражается через время жизни электронно-дырочной пары

Таким образом, скорость тепловой генерации выражается формулой

а скорость рекомбинации

3.2.4 В стационарном режиме концентрация свободных электронов не изменяется, следовательно, в этом случае выполняется соотношение

Подставим в это уравнение полученные ранее выражения для скоростей потоков и коэффициента поглощения

Из этого уравнения получаем

Для упрощения расчетов перепишем данное выражение в виде

где в одном безразмерном коэффициенте объединились все параметры кремния


(здесь - единица измерения интенсивности).
Окончательно получаем искомую формулу

3.3.1 Сила тока через фоторезистор при постоянном напряжении на нем пропорциональна проводимости фоторезистора, которая в свою очередь пропорциональна концентрации носителей тока. Следовательно, формула (19) также описывает изменение силы тока

3.3.2 Подставляя значение длины волны в выражение (20), вычислим значение коэффициента при интенсивности

Такое большое значение этого коэффициента позволяет пренебречь 1 под корнем, то есть сила тока пропорциональна корню квадратному из интенсивности падающего света. График этой зависимости показан на рисунке.

3.3.3 В данном случае требуется построить график функции

При построении следует учесть, что при фотоэффект отсутствует, поэтому в этой

области . При искомая зависимость практически линейна (см. рисунок).