Вдумайся, какие единицы заданы и в какие нужно перейти; нарисуй преобразование единиц длины и времени.

Пользуйся преобразованием: километры переводятся в метры умножением на 1000, часы в минуты — делением на 60; запиши операцию для скорости в общем виде.

1. Запиши исходную скорость км/ч.
2. Преобразуй километры в метры и часы в минуты: умножь числитель на 1000 и раздели знаменатель на 60.
3. Сократи полученную дробь.
4. Вырази скорость в м/мин из полученного соотношения.

Подумай: Федя движется всё время равномерно, пока не достигнет цели, а затем останавливается. В каких единицах удобнее работать и сколько времени потребуется, чтобы пройти весь путь S при таком режиме движения?

Запиши уравнение равномерного движения, связывающее пройденный путь S, скорость v и искомое время T: .

1. Проверь, что S и v заданы в одних и тех же единицах (метры и минуты).
2. Подставь численные значения S и v в уравнение .
3. Вырази из полученного уравнения.

Какой вид будет иметь график расстояния для равномерного движения с последующей остановкой? Нарисуй его мысленно.

Опиши закон движения как кусочно-заданный: сначала равномерный рост координаты, затем постоянное значение (остановка).

1. Запиши для периода движения (пока Федя в пути).
2. Запиши для времени после прихода в деревню (координата постоянна).
3. Обозначь момент прихода из п.1.2, где сменяется ветвь функции.
4. Построй график: отрезок прямой от до , затем горизонтальную линию при .

Подумай, как связаны времена возвращения Шарика домой с предыдущим временем его отправления и скоростями участников.

Используй соотношения движения для отрезков: время до встречи определяется из уравнения расстояний, а возвращение домой симметрично; выпиши соотношения в общем виде.

1. Обозначь момент предыдущего возвращения как и момент следующей встречи как .
2. Запиши условие встречи: и реши его для в общем виде.
3. Используя симметрию пути, запиши и вырази через и скорости.
4. Вырази явную рекуррентную формулу для (и подставь для численных значений).

Найди время каждой встречи и тогда легко получишь координату встречи по движению Феди.

Пользуйся полученной формулой для из предыдущего пункта и выражением ; выпиши их в общем виде.

1. Возьми выражение для через и скорости (из 1.4).
2. Подставь рекуррентную формулу для , чтобы получить в явном виде.
3. Вычисли координату встречи как в общем виде.
4. Подставь и для получения численных значений и .

Нарисуй все отрезки пути Шарика: от дома до встречи и обратно. Заметь закономерность среди длительностей очередного «вылета» и возвращения.

Воспользуйся тем, что длину пробега на любом отрезке можно выразить как скорость Шарика, умноженная на время этого отрезка, и используй отношения времен встреч/возвратов, полученные ранее (геометрическая прогрессия).

1. Запиши длину одного «вылета» Шарика до встречи -го порядка как и длину обратного хода как .
2. Учти, что эти две длины равны, поэтому длина полного кругового пробега между двумя подряд возвращениями к дому равна .
3. Суммируй вклады всех таких кругов, которые выполняет Шарик, и добавь при необходимости последний неполный пробег (если последний фрагмент отличается по структуре).
4. Вырази итоговый путь как сумму полученных слагаемых, подставь в неё выражения для и (в терминах , и ) и упрости до алгебраического выражения.

Нарисуй схему: отметь на оси времени моменты возвращения Шарика домой и моменты встреч с Федей, а на оси координат — дом и путь до Кефирино.

Используй равенство координат при встрече (координата Феди = пройденный Шариком путь) и симметрию времени «туда» и «обратно» для Шарика; это даёт рекуррентные соотношения для моментов возвращения τ_k и моментов встреч t_k.

1. Выпиши рекуррентное соотношение для последовательности τ_k, исходя из соотношения времён бега Шарика туда и обратно.
2. Вырази через τ_{k-1} моменты встреч t_k, приравняв координаты Шарика и Феди в момент встречи.
3. Для каждого k на графике проведи отрезок с наклоном, соответствующим скорости Шарика, от дома в момент τ_{k-1} до встречи в t_k, затем отрезок с обратным наклоном от t_k до τ_k; пометь узлы (τ_k,0) и (t_k,x_k).
4. Выразите τ_k и t_k из полученной системы.

Подумай, как задержка отдыха после возвращения домой сказывается на моменте следующей встречи (она сдвинется на данное опоздание).

Запиши уравнение встречи аналогично ранее: расстояние, пройденное Шариком с учётом отдыха, равно координате Феди в момент опоздания; в общем виде используй .

1. Обозначь фактическое время третьей встречи как и смещённый момент отправления Шарика после отдыха как .
2. Запиши условие встречи: пройденный Шариком путь с последнего отправления равен координате Феди в момент встречи (уравнение из H2).
3. Реши это уравнение в общем виде для (алгебраически).
4. Вырази из полученной системы.

Чтобы восстановить четвертую встречу в расчётное время, Шарик должен за оставшееся время пройти от места фактической третьей встречи до места четвёртой встречи.

Воспользуйся определением средней скорости как отношения пройденного пути к затраченному времени; запиши в общем виде.

1. Определи координату и время фактической третьей встречи и целевую четвёртую встречу из плана.
2. Вычисли пройденный Шариком путь между этими встречами как (он бежит домой и обратно до встречи) в общем виде.
3. Запиши оставшееся время до плановой четвёртой встречи как и вырази среднюю скорость .
4. Наконец, вырази момент возвращения домой после этой скоростной смены как .

Сравни плановый момент прихода Феди в деревню с реальным моментом, когда он туда вошёл; разница — время его отдыха.

Запиши: , где — плановое время прихода, а — реальный момент входа (получи из графика/расписания Шарика).

1. Определи плановый момент прихода Феди (из 1.2) и реальный момент прихода (из времени последней встречи/возвращения Шарика).
2. Запиши .
3. Вычисли разницу в общем виде (не подставляя чисел здесь).
4. Вырази из полученной записи.

Отобрази реальные кусочно-линейные законы движения, отметив все сдвиги по времени и отдыхи, которые произошли.

Построй графики по точкам: для Феди используй участки равномерного движения и горизонтальный участок отдыха; для Шарика чередующиеся отрезки с наклонами ±u и изменённые интервалы после задержек.

1. На бланке для Феди отложи временную ось и отметь прямую до фактического прихода, затем горизонтальную линию в период отдыха.
2. Для Шарика изобразь отрезки туда/обратно как в 1.7, но учти: после второго возвращения добавь горизонтальный промежуток отдыха , смещающий последующие отрезки; затем отметь ускоренный участок, восстановивший встречу №4, и финальный цикл.
3. Проверь согласованность графиков в точках встреч (все пересечения должны совпадать по времени и координате).
4. Подпиши ключевые моменты: , , , , отдых Феди .

Нарисуй оба графика движения Шарика: плановый и реальный. Подумай, какие отрезки пути у него изменились из‑за отдыха и где возникло дополнительное прохождение.

Вычисли дополнительный путь как разность полной пройденной длины в реальном сценарии и полной пройденной длины по плану; сложи вклады по всем отрезкам (туда и обратно) на которых произошли сдвиги времен встреч.

1. Обозначь плановые времена и координаты встреч и возвращений через , , и реальные — через , , .
2. Запиши выражения для длин плановых отрезков Шарика между событиями (дом–встреча–дом) как суммы модулей перемещений на каждом круге; проделай то же для реального движения, учитывая сдвиги после отдыха.
3. Учитывая, что после незапланированного отдыха изменились только времена/координаты, выпиши разность сумм длин (реальная минус плановая) в виде суммы по кругам разностей длин отдельных кругов.
4. Выразите из полученной системы сумм как сумму вкладов отдельных кругов (разностей длин) и оставь результат в символическом виде.