Зеркало Френеля — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2011 11 класс № Э2

Часть 1. Теоретическая.

На рисунке показан ход лучей, при попадании на выпуклую линзу. Жирными стрелками указаны положительные направления отсчета соответствующих смещений. Пусть расстояние от точки падения луча до главной оптической оси равно . Обозначим угол между главной оптической осью и направлением на точку падения . Из рисунка следует, что в приближении малых углов (когда )

Тогда в соответствии с законом отражения света отраженный луч отклонится на угол . Считая этот угол малым (то есть, полагая, что ) найдем, что смещение отраженного луча равно

Для смещения преломленного луча, учитывая подобие треугольников, можно записать пропорцию

из которой следует, что (с учетом направления отклонения)

Не сложно показать, что приведенные формулы справедливы и для рассеивающей линзы, только в этом случае радиус кривизны и фокусное расстояние следует считать отрицательными.

Формулы (2) и (4) дают метод измерения радиусов кривизны поверхностей линзы и ее фокусного расстояния. Так по коэффициенту наклона графика функции можно найти

Аналогично по коэффициенту наклона графика определяется фокусное расстояние

2.1

2.1 Результаты измерения смещения отраженного и преломленного лучей в зависимости от смещения линзы для обеих сторон приведены в Таблице 1. В наших измерениях расстояния от линзы до экрана были равны
$мм мм$

Таблица 1. Собирающая линза.

Сторона 1			Сторона 2
, мм	, мм	, мм	, мм	, мм	, мм
-9	-113	42
-8	-95	36	-9	-90	38
-7	-85	31	-8	-83	35
-6	-76	27	-7	-67	30
-5	-64	23	-6	-62	25
-4	-55	19	-5	-50	20
-3	-45	15	-4	-43	15
-2	-34	10	-3	-30	11
-1	-23	5	-2	-26	7
0	-12	3	-1	-14	4
1	-8	0	0	0	0
2	8	-6	1	7	-5
3	20	-10	2	10	-8
4	30	-15	3	21	-14
5	40	-19	4	29	-17
6	52	-24	5	36	-22
7	63	-28	6	44	-25
8	75	-33	7	57	-30
9	83	-36	8	65	-35
			9	77	-39
	10,58	-4,24		9,04	-4,25
	0,17	0,08		0,24	0,07

По данным Таблицы 1 построим графики соответствующих зависимостей. В соответствии с формулами (2), (4) эти зависимости линейны (смещения от начала отсчета легко объяснимы неточностью установки начального отсчета – центр линзы не совпадает с началом отсчета). На рисунке представлены графики полученных зависимостей.

Коэффициенты наклона графиков и их погрешности, рассчитанные по МНК, приведены в нижних строках таблицы 1. По этим коэффициентам с помощью формулы (2) определяем радиусы кривизны обеих поверхностей линз:

для первой поверхности:
$см см$
$см$

для второй поверхности:
$см см$
$см$

Наклоны графиков зависимостей в пределах погрешности совпадают, поэтому для определения фокусного расстояния можно использовать любое значение коэффициента наклона

$см см$
$см$

Отметим, что относительные погрешности измерения расстояний заметно превышают погрешности определения коэффициентов наклона, поэтому при расчете погрешностей погрешности радиусов кривизны и фокусного расстояния не учитывались.

Теперь с помощью формулы для фокусного расстояния линзы рассчитаем показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза:

2.4

2.4 Измерение характеристик второй линзы проводится аналогично. Результаты измерений зависимостей отклонения лучей от смещения линзы представлены в Таблице 2.

Таблица 2. Рассеивающая линза.

сторона 1			сторона 2
, мм	, мм	, мм	, мм	, мм	, мм
-9	81	-35	-9	82	-37
-8	68	-32	-8	75	-34
-7	61	-27	-7	64	-30
-6	50	-24	-6	54	-26
-5	41	-20	-5	44	-22
-4	32	-16	-4	35	-18
-3	21	-12	-3	26	-13
-2	11	-7	-2	17	-10
-1	0	-2	-1	10	-6
0	-6	1	0	0	-2
1	-17	5	1	-9	2
2	-26	8	2	-20	7
3	-37	12	3	-33	12
4	-46	17	4	-39	14
5	-55	23	5	-48	18
6	-66	26	6	-57	23
7	-74	29	7	-65	26
8	-84	33	8	-75	31
	-9,63	4,07		-9,29	4,03
	0,10	0,07		0,13	0,05

Ниже показаны графики измеренных зависимостей – обратите внимание, что наклоны графиков изменились на противоположные по сравнению с аналогичными графиками для собирающей линзы.

Расчеты также проводятся аналогично:

для первой поверхности:
$с м с м$
$с м$

для второй поверхности:
$с м с м$
$с м$

Для фокусного расстояния
$с м с м$
$с м$

Показатель преломления:

2.4

Таблица 2. Рассеивающая линза.

сторона 1			сторона 2
, мм	, мм	, мм	, мм	, мм	, мм
-9	81	-35	-9	82	-37
-8	68	-32	-8	75	-34
-7	61	-27	-7	64	-30
-6	50	-24	-6	54	-26
-5	41	-20	-5	44	-22
-4	32	-16	-4	35	-18
-3	21	-12	-3	26	-13
-2	11	-7	-2	17	-10
-1	0	-2	-1	10	-6
0	-6	1	0	0	-2
1	-17	5	1	-9	2
2	-26	8	2	-20	7
3	-37	12	3	-33	12
4	-46	17	4	-39	14
5	-55	23	5	-48	18
6	-66	26	6	-57	23
7	-74	29	7	-65	26
8	-84	33	8	-75	31
	-9,63	4,07		-9,29	4,03
	0,10	0,07		0,13	0,05