Представь две когерентные волны, приходящие в дальнюю точку под немного разными фазами из соседних ячеек. Пометь разность хода через зависимость от угла θ и нарисуй эпюру фаз для двух источников.

Воспользуйся интерференцией двух когерентных источников: результирующая интенсивность связана с суммой амплитуд и зависит от разности фаз Δφ между ними; для одинаковых источников она пропорциональна выражению вида . Свяжи Δφ с разностью хода, используя данную в условии формулу .

1. Запиши амплитуды от каждого излучателя и их фазовую разность через .
2. Вычисли модуль суммы амплитуд и возведи в квадрат, чтобы получить интенсивность как функцию фазовой разности.
3. Подставь связь фазовой разности с (через ), учитывая, что источники в фазе ( на входе).
4. Вырази из полученной системы.

Подумай, при каких значениях фазовой разности две волны усиливают друг друга максимально. Проверь, какие направления соответствуют этим фазам.

Максимум интерференции достигается при целой кратности длин волн разности хода: условие имеет вид (m — целое).

1. Подставь целые значения m в условие .
2. Ограничь возможные θ диапазоном от до и выбери допустимые m.
3. Определи все углы θ, удовлетворяющие условию для целых m в этом интервале.
4. Вырази найденные значения θ из полученной системы.

Подумай, при каком расстоянии между источниками все дополнительные максимумы (m≠0) уходят за пределы доступных углов и остается только центральный максимум.

Требуется, чтобы для m=±1 условие не имело решений в диапазоне; это эквивалентно требованию $d<\lambda$ (поскольку |sinθ|≤1).

1. Запиши условие существования неминусного первого максимума: существует θ с при .
2. Потребуй отсутствие решений для m=±1, то есть невозможность выполнения при |sinθ|≤1.
3. Вырази максимальное допустимое из этого требования.
4. Вырази значение максимального из полученной системы.

Учти, что одиночный диполь имеет направленную индикатрису, уменьшающую излучение вдоль нормали на угол θ по закону, указанному в справке. Подумай, как это умножит интерференционную картину.

Интегрируй найденную для двух точечных источников интерференционную формулу с учётом угловой диаграммы диполя: результирующая интенсивность умножается на коэффициент, пропорциональный .

1. Составь выражение интенсивности двух источников вдоль Y как для точечных источников (интерференционная часть).
2. Домножь эту интерференционную часть на функцию индикатрицы одиночного диполя.
3. Проанализируй условия максимумов с учётом дополнительно появившегося множителя и ограничения по θ.
4. Вырази модифицированное и условия для максимумов из полученной системы.

Представь N когерентных одинаковых источников, расположенных на прямой с равным шагом d и колеблющихся в фазе. Подумай, в каком направлении их волны складываются наиболее синфазно.

Для цепочки в фазе главный максимум даётся нулевым порядком, то есть когда разности хода между соседними элементами равны нулю; это соответствует направлению, перпендикулярному цепочке (θ=0). Интенсивность в этом направлении равна квадрату суммы амплитуд — то есть растёт как N^2 по амплитуде, следовательно по интенсивности как N^2 относительно одиночного излучателя (учти, что каждый элемент даёт I0).

1. Запиши суммарную амплитуду как сумму N одинаковых амплитуд при θ=0.
2. Вычисли интенсивность как квадрат модуля суммы амплитуд и свяжи её с I0.
3. Укажи направление, где амплитуды складываются синфазно (θ=0).
4. Вырази максимальную интенсивность через N и I0 из полученной системы.

Найди угол, при котором интенсивность становится нулевой: для этого потребуются условия, при которых волны от крайних элементов складываются в противофазе. Нарисуй цепочку и пометь крайние элементы.

Для нулевого первого минимума разность фаз между крайними излучателями должна быть . Запиши условие в форме и переведи его в угловую ширину; из опубликованного решения используют условие в фазовом смысле, что даёт ширину в виде .

1. Запиши разность хода между крайними элементами как .
2. Поставь условие, что эта разность хода соответствует фазовой разности (нулевой минимум).
3. Реши полученное уравнение относительно малой угловой величины (малый угол — можно аппроксимировать).
4. Вырази угловую ширину из полученной системы.

Если между соседними элементами введена постоянная фазовая задержка, это эквивалентно прибавлению линейного фазового наклона вдоль цепочки — луч смещается в сторону, где фазы выравниваются. Подумай, как это сказывается на условии направления максимума.

Запиши условие фазового согласования для максимума: разность фаз от соседних элементов компенсирует разность хода, давая уравнение вида .

1. Запиши фазу волны от соседних элементов с учётом добавочной разности фаз .
2. Обведи условие синфазности, при котором суммарная фаза вдоль цепочки постоянна.
3. Получишь уравнение .
4. Вырази значения углов из полученной системы.

Луч, направленный под углом θ0, имеет конечную ширину, определяемую тем, при каких углах фазовый сдвиг между крайними элементами достигает полного оборота на 2π. Отметь θ0 и крайние элементы цепочки.

Используй то же аппроксимированное условие для ширины: изменение угла на Δθ должно привести к дополнительной фазе , что в малом-угловой аппроксимации даёт формулу для Δθ аналогичную опубликованной: (привести к простому виду).

1. Запиши фазовую разность между крайними элементами при угле θ0 и при θ0+Δθ.
2. Поставь условие на изменение фазы равным для определения границы основного лепестка.
3. Аппроксимируй синус для небольшого Δθ и вырази Δθ через известные параметры, учитывая косинус в точке θ0.
4. Вырази угловую ширину луча из полученной системы.

Чтобы луч поворачивался с постоянной угловой скоростью ω, фазовый наклон между соседними элементами должен меняться во времени так, чтобы направление максимума θ(t) менялось линейно по времени.

Из условия синфазности для максимума выведи временную зависимость Δφ(t) через заданный закон θ(t)=ωt (или через желаемую угловую скорость).

1. Запиши выражение для Δφ в общем виде через θ: .
2. Подставь желаемый закон поворота луча (или линейную функцию времени для угла).
3. Получишь требуемую временную зависимость .
4. Вырази из полученной системы.

Подумай, как складываются поля от многих когерентных источников в одной точке: что с ними происходит по амплитуде и фазе, если все источники работают синфазно?

Запиши правило: суммарная интенсивность пропорциональна квадрату модуля суммарной амплитуды поля. Свяжи амплитуду одиночного излучателя с его интенсивностью (амплитуда пропорциональна корню из ).

1. Обозначь амплитуду поля от одного излучателя через так, чтобы .
2. Запиши суммарную амплитуду поля от всей квадратной решетки как сумму одинаковых вкладов от источников.
3. Запиши, что суммарная интенсивность равна квадрату (модуля) этой суммарной амплитуды.
4. Вырази искомую максимальную интенсивность через и из полученной системы соотношений.