1.1 При выполнении условия шарик не будет ударятся о крышку сосуда. В момент каждого удара о дно сосуда он будет передавать дну импульс

При равноускоренном движении в поле тяжести земли зависимость вертикальной координаты шарика имеет вид

Поэтому время между двумя последовательными ударами можно легко найти из выражения (2), полагая . Тогда время между ударами оказывается равным

А средняя сила давления шарика на дно сосуда равна (как ни странно!?):

1.2 Если скорость шарика у дна , то он будет ударяться и о верхнюю крышку сосуда. Скорость шарика при ударе о крышку рассчитывается по формуле

Так как движение шарика между ударами является равноускоренным, то время подъема шарика и равное ему время падения оказывается равным

Тогда средняя сила давления шарика на дно равна

Сила давления на крышку рассчитывается аналогично:

Разность этих сил опять равна

2.1 Средняя квадратичная скорость молекул рассчитывается по известной формуле

Так как все направления в пространстве равноправны, то

Кроме того,

Поэтому

2.2 При ударе молекулы о поршень изменяется только та проекция вектора скорости, которая перпендикулярна плоскости поршня. Поэтому направим ось перпендикулярно поршню, вдоль оси сосуда. Рассмотрим молекулу, которая налетает на поршень, имея компоненту скорости, перпендикулярную пластине . Если скорость поршня равна и направлена

навстречу налетающей молекуле, то после абсолютно упругого удара проекция скорости
молекулы станет равной

Это соотношение легко доказать, рассматривая упругий удар в системе отсчета, связанной с
поршнем, а затем вернувшись в систему отсчета, связанную с сосудом.
Изменение проекции импульса молекулы при ударе равно ( - масса одной молекулы)

Такой же по модулю, но противоположно направленный импульс
получит поршень. Предположим, что у всех молекул модуль
проекции скорости на ось равна . Тогда за малый промежуток
времени до поршня долетят те молекулы, которые находятся на
расстоянии меньшем, чем .
Число этих молекул равно

Здесь - концентрация молекул, также учтено, что в направлении стенки летят половина
молекул. Эти молекулы предадут стенке импульс, равный

Теперь можно провести усреднение по скоростям молекул:

В соответствии с общим подходом, средняя сила, действующая на поршень с одной стороны,
равна

Понятно, что для вычисления силы, действующей на вторую сторону поршня достаточно в
формуле (18) заменить знак скорости :

Разность этих сил и есть сила, действующая на поршень со стороны газа:

Осталось выразить величины, входящие в эту формулу, через величины, заданные в условии
задачи:

В итоге получаем:

2.3 Используя формулу (13), найдем изменение кинетической энергии молекулы при ударе
(слагаемое пропорциональное можно опустить):

Тогда за малый промежуток времени изменение энергии всего газа равно (усреднение проводим сразу):

Это же изменение энергии можно выразить через изменение абсолютной температуры газа:

Приравнивая эти выражения, находим изменение температуры газа: