Электромобиль — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2022 10 класс № 3

Часть 1. Движение по твердой горизонтальной поверхности.

1.1

1.1 Запишем уравнения, описывающие движение электромобиля в установившемся режиме.

Первое. При движении с постоянной скоростью сила тяги, развиваемая двигателем, точно уравновешивает силу сопротивления воздуха, поэтому

Второе. Так как при работе двигателя в его обмотке возникает неизвестная (или трудно рассчитываемая) ЭДС самоиндукции, то использовать закон Ома для определения силы тока в цепи невозможно. Поэтому вместо этого закона следует воспользоваться законом сохранения энергии: энергия, выдаваемая источником тока , расходуется на теплоту, выделяющейся на резисторе и на работу по преодолению сил сопротивления , следовательно:

Для того, чтобы получить систему уравнений в «безразмерном» виде, переписшем уравнения (1) – (2) для двух крайних случаев, описанных в условии задачи. При застопоренном двигателе скорость автомобиля равна нулю. В этом случае сила тока будет минимальна при максимальном сопротивлении резистора. Поэтому

Скорость электромобиля будет максимальна при нулевом сопротивлении резистора, в этом случае

Выразим значения сопротивления резистора, скорости электромобиля и силы тока в цепи через указанные в условии безразмерные параметры:

и подставим их в исходные уравнения. Тогда из уравнения (1) следует

Тогда с учетом (4), получим

Подстановка (5) в уравнение (2) дает

При учете соотношения (4), получаем окончательно

Таким образом, уравнения (7) и (8) образуют искомую систему для расчета требуемых зависимостей.

1.2

1.2 Найти решение полученной системы довольно просто. Подставим значение из уравнения (7) в уравнение (8):

После сокращения, получаем квадратное уравнение

Положительный корень, которого равен:

Заметим, что при .

1.3

1.3 Зависимость следует из уравнения (7):

1.4

1.4 В данном случае под КПД следует понимать отношение мощности двигателя к мощности, развиваемой источником тока, поэтому

1.5

1.5 Необходимые расчеты по полученным формулам приведены в таблице, по которой построены требуемые графики.

Сопротивление,	Скорость	Сила тока,	КПД,
0,00	1,00	1,00	1,00
0,10	0,95	0,91	0,95
0,20	0,92	0,84	0,92
0,30	0,88	0,78	0,88
0,40	0,85	0,73	0,85
0,50	0,83	0,69	0,83
0,60	0,81	0,65	0,81
0,70	0,78	0,62	0,78
0,80	0,77	0,59	0,77
0,90	0,75	0,56	0,75
1,00	0,73	0,54	0,73

2.1

2.1 При появлении постоянной силы трения качения исходные уравнения преобразуются следующим очевидным образом:
$т р$
$т р$
Учитывая, что по условию $т р$ , и проведя аналогичный переход к безразмерным уравнениям, получим следующую систему уравнений

Когда электромобиль только начинает двигаться, его скорость еще равна нулю, поэтому и . Тогда из системы уравнений (16) легко найти:

Найденное значение больше максимального значения сопротивления резистора. Поэтому электромобиль сдвинется при любом возможном значении сопротивления резистора.

2.2

2.2 Как и ранее, максимальная скорость автомобиля будет достигаться при нулевом сопротивлении переменного резистора, т.е. при . В этом случае система (16) преобразуется к виду

То есть максимальная скорость движения электромобиля при появлении силы трения качения не изменится.