Неоднородная разминка — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2022 9 класс № 1

Для определения центра масс неоднородного стержня рассмотрим однородную трапецию с

длинами оснований численно равными

и высотой

. Если мы выделим малый участок (полоску) шириной

,
то масса этой полоски будет равна (точнее,
пропорциональна) массе такого же отрезка рассматриваемого
неоднородного стержня. Поэтому координаты

центров
масс стержня и трапециевидной пластинки будут одинаковы.
Рассчитать координату центра масс пластинки можно
традиционным способом.
Разобьем трапецию на прямоугольник и треугольник. Масса
прямоугольника равна

, координата его центра масс

. Масса треугольника

, координата его центра масс

. Тогда координата центра масс
трапеции задается формулой

Задача 1.2

На рисунке показана зависимость удельного сопротивления
стержня от координаты . Эта зависимость описывается
функцией:

Понятно, что площадь под графиком этой зависимости
пропорциональна электрическому сопротивлению участка стержня. Поэтому сопротивление
участка стержня от нуля до некоторой точки с координатой

будет равно:

Где

- постоянная площадь поперечного сечения стержня.
Сопротивление всего стержня равно

Поэтому сила тока, протекающего по стержню равна

Следовательно, искомое напряжение будет описываться формулой:

Задача 1.3

Построим график зависимости удельной теплоемкости стержня от координаты.

Площадь под этим графиком в интервале температур

пропорциональна количеству теплоты, которое требуется, что бы нагреть брусок на величину

в том же диапазоне температур. Так как теплообмен между брусками происходит без потерь, то для нахождения установившейся температуры необходимо трапецию меду значениями

разбить на две равновеликие части. Легко заметить, что площадь треугольника под данным графиком в диапазоне от нуля до произвольного значения

пропорциональна

. Это позволяет сразу найти значение

, разбивающее трапецию на две части равных площадей: