Как измеряли Вселенную — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2023 9 класс № 2

1.1

1.1 Элементарный построения условия видимости приводят к уравнению, следующему из теоремы Пифагора

Мы пренебрегли малым слагаемым . Из этой формулы следует, что радиус Земли равен

Численный подсчет дает результат
$м$

2.1

2.1 Из закона всемирного тяготения можно записать формулу для ускорения свободного падения

Из этой формулы находим массу Земли $к г$ .
Средняя плотность Земли равна
$к г м$

3.1

3.1 Расстояние от Земли до Луны можно найти , рассматривая движение Луны с точки зрения законов динамики (2 закон Ньютона и закон всемирного тяготения):

Где - масса Луны, - масса Земли, $Л$ - угловая скорость движения Луны вокруг Земли. Для упрощения расчетов можно использовать формулу (4):
$Л$
Из этой формулы находим радиус лунной орбиты

$Л$

Теперь необходимо учесть, что время между двумя новолуниями не равно периоду обращения Луны вокруг Земли. Обозначим $З$ период обращения Земли вокруг Солнца (1 год). На рисунке показано положение Солнца, Земли и Луны в два последовательных новолуния. Очевидно, что время между полнолуниями (которые легче наблюдать) равно времени между новолуниями. За время между новолуниями Луна по своей орбите повернется на угол $З$ , поэтому можно записать: