1. Условие равновесия тела – сумма сил и сумма моментов сил, действующих на тело равны нулю. При вертикальном положении цилиндра, когда его ось проходит через центр шара, эти условия выполняются. Следовательно, описанное положение цилиндра является положением равновесия не зависимо от радиуса шара и высоты цилиндра.

Для того, чтобы положения равновесия было устойчивым, необходимо, чтобы при отклонении от положения равновесия возникали силы (или моменты сил), стремящиеся вернуть тело в исходное положение. Это условие также может сформулировано иначе: положению устойчивого равновесия соответствует минимум потенциальной энергии. Так как в рассматриваемой системе потенциальная энергия есть потенциальная энергия в поле тяжести, то условие минимума упрощается: при отклонении цилиндра от вертикального положения его центр масс должен подниматься.

Сделаем рисунок, позволяющий получить условия устойчивости равновесия цилиндра. На рисунке пунктиром показано вертикальное положение цилиндра: - положение центра масс (на расстоянии от основания цилиндра); - точка касания на шаре, на основании цилиндра это центр основания. При отклонении от вертикального положения цилиндр прокатывается по поверхности шара. Пусть при отклонении оси цилиндра на угол от вертикали, точка касания смещается – на рисунке это точка . Точка - центр основания цилиндра после его поворота. так качение происходит без проскальзывания, то длина дуги равна длине отрезка на основании цилиндра (этот отрезок – множество точек касания при наклоне цилиндра). - положение центра масс отклоненного цилиндра. Проведем прямую, проходящую через центр шара и точку касания продлим ее до точки , находящейся на расстоянии от основания цилиндра. Из рисунка следует, что высота центра масс цилиндра над центром шара равна

Поэтому изменение этой высоты при отклонении цилиндра от вертикального положения равно

Как было отмечено ранее, условие устойчивости – найденное изменение высоты центра масс должно быть положительным. Решить соответствующее неравенство аналитически невозможно, поэтому следует воспользоваться тем, что угол отклонения должен быть малым. В этом случае можно воспользоваться приближенными формулами

В этом приближении формула (2) приобретает вид

Из условия , следует, что условие устойчивости вертикального положения цилиндра имеет вид:

Для подтверждения справедливости проведенных рассуждений и расчетов приведем графики функции (2) при нескольких значениях величины (значения указаны на графике. (от участников олимпиады построение этого графика не требуется).

«Моментный» вариант решения.

Чтобы цилиндр после отклонения от вертикали возвращался в исходное положение, необходимо, чтобы момент силы тяжести «заставлял» его вернуться обратно. С помощью построенного рисунка можно заметить, что это будет выполняться при выполнении условия: Вертикаль, проходящая через точку (вдоль нее направлена сила тяжести) должна проходить правее точки касания . Математически это условие можно записать в виде:

Используя приближенные формулы ; , легко получаем решение (5).