Расстояние между поверхностями сферического тела и радиус этого тела значительно меньше радиуса Земли, поэтому можно считать, что на тело действует постоянная сила гравитационного притяжения равная Такая же по модулю сила действует и на Землю.
Рассмотрим случай а) плотность тела равна плотности Земли. В этом случае масса тела значительно меньше массы Земли, поэтому смещением Земли можно пренебречь с высокой точностью. Таким образом, мы приходим к простейшей задаче: «тело падает с высоты ...»
1.1.1.а Время падения определяем из закона равноускоренного движения тела (падающего с ускорением свободного падения ): Из которого находим
1.1.2.а Скорость падения можно найти различными способами, например, из закона сохранения энергии: Откуда следует:
В случае б), когда масса тела равна массе Земли, необходимо учитывать движения Земли. Задача существенно упрощается тем обстоятельством, что массы тел равны. При этом движение тела и Земли является «симметричным»: их центры движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю ускорениями и скоростями. Поэтому они столкнутся, когда каждое тело пролетит расстояние . Так как силы, действующие на тела, определяются формулой (1), то ускорение каждого из тел по модулю равны .
1.1.1.б Для расчета времени движения запишем соотношение Из которого находим
1.1.2.б Для расчета скорости каждого тела запишем кинематическое соотношение Которое приводит к следующему значению скорости тела в момент столкновения Так тела движутся навстречу друг другу, то относительная скорость в момент столкновения в два раза превышает найденную скорость, т.е.
Задача 1.2 Космический корабль.
Отношение высоты полета корабля к радиусу Земли примерно равно 0,03. Так как численные расчеты следует проводить с двумя зачашими цифрами 1.2.1а Если масса корабля значительно меньше массы Земли, то Землю можно считать неподвижной. Тогда корабль движется по окружности, центр которой совпадает с центром Земли. На основании второго закона Ньютона можно записать уравнение движения корабля Скорость движения корабля является первой космической скоростью и равна Следовательно, период обращения корабля равен
1.2.1б Если масса корабля равна массе Земли, то центр Земли и корабль будут вальсировать вокруг общего центра масс. В рассматриваемом случае этот центр тяжести находится на половине радиуса. Радиус окружности, по которой движутся корабль и центр Земли равен половине радиуса Земли Поэтому уравнение движения корабля в этом случае будет иметь вид Скорость движения корабля Наконец, период обращения равен
Задача 1.3 Эталон часа
1.3
1.3 Рассмотрим траекторию движения маятника, которая является дугой окружности. Высота подъема маятника над поверхностью Земли равно При малых углах отклонения маятника эта величина является малой величиной второго порядка малости, поэтому ей можно пренебречь В рамках этого подхода можно сделать следующие приближения:
груз маятника движется по горизонтальной прямой;
указанные на рисунке углы равны ;
модуль силы тяжести не изменяется в ходе движения и равен , эта сила направлена к центру Земли. На следующем рисунке показаны силы, действующие на груз маятника. Проецируя силы на направление нити маятника, получим, что Здесь опять использовано приближение малых углов, когда с точностью до малых первого порядка . Запишем теперь уравнение второго закона Ньютона в проекции на горизонтальную ось : Наконец, выразим угол отклонения подвеса маятника через координату груза: Из формул (4)-(5) получаем уравнение Это уравнение является уравнением гармонических колебаний с периодом
Неоднородное гравитационное полевар. 2
Маленький принц
Потери энергии
Гитарная струна
Простая задача про простые механизмы
Разминкавар. 1