Опыт Кавендиша на современном оборудовании — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2026 11 класс № 1

Проведем расчет геометрических параметров, необходимых для анализа результатов измерений:

м

. (1)

$м$ . (2)

При подведении тяжелых шаров к коромыслу весов на малые шарики начинает действовать сила гравитационного притяжения, равная

(3).

Так смещение шариков коромысла крайне мало, то можно пренебречь изменением расстояния между взаимодействующими шарами, т.е. в формуле (3) можно считать величину постоянной. Эти силы создают дополнительный момент гравитационных сил, действующих на коромысло

. (4)

который уравновешивается возникающим моментом сил упругости нити подвеса

. (5)

здесь - отклонение равновесного положения коромысла от положения, соответствующего недеформированной нити .

В положении равновесия эти моменты равны, следовательно

. (6)

где - модуль кручения нити. Однако, положение равновесия при недеформированной нити неизвестно. Может быть измерена величина суммарного смещения положения равновесия при изменении положения больших шаров , которая в два раза больше, чем .

С учетом этого обстоятельства, из этого равенства следует формула для расчета гравитационной постоянной

. (7)

Угол закручивания нити в положении равновесия можно определить из представленного графика. Но в формулу входит неизвестный модуль кручения нити . Эта же характеристика нити определяет период крутильных колебаний коромысла с шариками. Период свободных колебаний можно определить из имеющегося графика. Получим формулу для периода этих колебаний. Для чего запишем закон сохранения энергии при таких колебаниях

. (8)

Это есть уравнение гармонических колебаний с периодом

. (9)

Таким образом, нужный модуль кручения выражается через период крутильных колебаний

. (10)

Подставим его значение в формулу для определения гравитационной постоянной

. (11)

Тем самым, мы получили формулу для расчета гравитационной постоянной, в которую входят только измеряемые величины

$Н м кг$ . (12)

что ниже табличного значения.

Помимо геометрических размеров из полученных результатов следует определить с максимальной точностью две величины: - смещение положения равновесия, при изменении положения больших шаров; - период колебаний.

Рассмотрим возможности их определения.

1. Положения равновесия.

Способ 1. Просто по графику снять значения углов, к которым стремятся графики затухающих колебаний.

$мрад$

Способ 2. По трем точкам (метод Кавендиша). Г. Кавендиш использовал следующую формулу (логически понятную)

. (13)

Способ 3. По трем точкам с учетом затухания.

Функция, описывающая затухающие колебания, имеет вид

. (14)

Для точек максимального отклонения можно записать

(15)

где - коэффициент затухания за половину периода колебаний.

Тогда для трех первых точек получаем систему уравнений

. (16)

с двумя неизвестными величинами. Решая ее относительно , получим

. (17)

Способ 4. По «всем точкам»: применить формулу рекуррентную формулу(16) ко всем точкам экстремумов

(18)

Из которой следует, что

. (19)

Эта зависимость может быть использована для определения величин и равновесного положения. В таблице и на графиках показаны эти зависимости для двух положений.

Положение А	Положение В
n			n
1	0,4		1	2,30
2	1,52	0,4	2	1,18	2,3
3	0,55	1,52	3	2,13	1,18
4	1,37	0,55	4	1,32	2,13
5	0,67	1,37	5	2,03	1,32
6	1,27	0,67	6	1,42	2,03
7	0,75	1,27	7	1,94	1,42
8	1,20	0,75	8	1,49	1,94
9	0,82	1,20	9	1,87	1,49
10	1,15	0,82	10	1,54	1,87
		1,15			1,54

По коэффициентам этих графиков можно рассчитать значения положений равновесия:

. (18)

Что крайне мало отличается от значений, снятых «на глаз».

2. Определение периода колебаний.

1 Способ. Просто снять значения времен нескольких колебаний. Получается значение периода

. (19)

2 способ. Усреднить периоды для разных положений равновесия.

3 способ. Провести усреднение «по всем точкам»: снять значения «нулей» и построить зависимость этих времен от номера. Результаты в таблице и на графике (результаты в «клеточках» приведенного рисунка, одна клеточка -- 100с).

Для случая В, к временам