1.1 В этом случае уравнение теплового баланса имеет вид

(1)

Терморезистор перегорит, если мощность теплоты, выделяющейся при протекании тока , все время будет превышать мощность теплоотдачи . Построим схематические графики зависимостей этих мощностей от температуры.

Обе функции являются линейными, поэтому их графики -- прямые линии.

Из графиков следует, что они будут иметь общую точку пересечения в указанном диапазоне температур, если наклон графика будет больше наклона графика , т.е. при выполнении условия

$\alpha\ I_{0}^{2}R_{0} < \beta$. (2)

В противном случае мощность поступающей теплоты все время будет превышать мощность уходящей теплоты, поэтому резистор будет разогреваться до бесконечности и перегорит.

Следовательно, максимальная сила тока, который может протекать через резистор, равна

. (3)

Способ решения 2.

Из уравнения (1) следует, что в стационарном режиме установившаяся температура терморезистора равна

**.** (4)

Из этой формулы следует, что установившийся режим возможен только при выполнении неравенства (2). Однако в данном решении нет аргументации того, что температура будет расти до бесконечности. Поэтому данное решение оценивается меньшим числом баллов.

1.2 Перейдем к уравнению для изменения сопротивления по рекомендованной методике.

Для этого выразим температуру резистора через его сопротивление.

Из формулы следует

, , (5)

Подставляя эти выражения в уравнение (1), получим

(6)

Тем самым приходим к нужному виду уравнения

(7)

Перепишем уравнение в наглядной форме

(8)

1.3 Из этого уравнения следует, что:

2.1 При последовательном соединении сила тока в цепи постоянна и равна

. (10)

Поэтому уравнения теплового баланса для терморезисторов имею вид

$\begin{array}{r} \left\{ C\frac{{\Delta t}_{1}}{\Delta\tau} = \frac{U_{0}^{2}}{\left( R_{1} + R_{2} \right)^{2}}R_{1} - \beta\ t_{1} \middle\vert{} \right.\ \end{array}$. (11)

Уравнения (11) отличаются только индексом, поэтому достаточно преобразовать одно из них, результат преобразования второго -- аналогичен. Выразим значение температуры терморезистора через его сопротивление

; . (12)

После подстановки в уравнение (11), получим

. (12)

Разделив уравнение на отношение , получим его в требуемом виде

. (13)

В котором и присутствует указанный параметр .

Таким образом, требуемая система уравнений имеет вид

$\begin{array}{r} \left\{ a\frac{{\Delta r}_{1}}{\Delta\tau} = - 4p\frac{r_{1}}{\left( r_{1} + r_{2} \right)^{2}} + \left( 1 - r_{1} \right) \middle\vert{} \right.\ \end{array}$.. (14)

2.2 Получим уравнение, описывающее изменение разности сопротивлений, для чего вычтем из первого уравнения системы (14) второе:

(15)

Так как коэффициент, стоящий при разности сопротивлений отрицателен при любых значениях мощности и сопротивлений отрицательный, то при любых начальных условиях разность сопротивлений стремиться к нулю. Следовательно, в установившемся режиме сопротивления терморезисторов будут равны.

Рассмотрим одно из уравнений системы (14) при (в этом случае уравнения одинаковы):

(16)

Это есть уравнение, описывающее динамику изменения сопротивления.

Укажем физический смысл слагаемых этого уравнения:

• величина есть мощность теплоты (в используемых единицах измерения), выделяющейся при протекании тока -- нагрев проводника приводит к уменьшению его сопротивления, поэтому в уравнении (16) она отрицательна;

• величина - есть мощность теплоты, уходящей в окружающую среду -- ее увеличение приводит к уменьшению температуры резистора, следовательно, к увеличению его сопротивления.

2.3 В установившемся режиме эти мощности равны .

Решение данной задачи имеет красивое геометрическое истолкование. Обозначим , а равные мощности теплоты . Тогда поставленная математическая задача формулируется следующим образом: найти точки пересечения линий, задаваемых уравнениями

$\begin{array}{r} \left\{ x + y = 1 \middle\vert{} \right.\ \end{array}$ (17)

Первое уравнение задает прямую, отсекающую на осях координат единичные отрезки. Второе уравнение описывает гиперболу, симметричную относительно биссектрисы координатного угла. Координаты точки пересечения гиперболы с биссектрисой легко найти

.

На рисунке приведена иллюстрация найденным соотношениям.

Теперь можно легко построить схематические графики зависимостей мощностей:

(при разных значениях ) и . Из проведенного анализа следует, что гипербола и прямая касаются друг друга при , или при . При меньшем значении имеются две стационарные точки. Из уравнения (13) следует, что увеличение мощности приводит к уменьшению сопротивления, а увеличение мощности - к увеличению сопротивления. Простой анализ поведения сопротивления при отклонении от стационарного значения показывает, что устойчивым является большее стационарное значение. Таким образом, при стационарных значений сопротивления нет. В этом случае мощность, выделяющаяся при протекании тока всегда, превышает мощность потерь, что приведет к бесконечному увеличению температуры и перегоранию терморезистора. Подводя итог проведенному анализу, сформулируем окончательный ответ на поставленный вопрос: установившийся режим протекания тока возможен при

$p < \frac{1}{4}$ . (18)

Способ решения 2.

Эти же результаты могут быть получены и на основании анализа корней уравнения (13) в стационарном режиме

,

которое приводится к квадратному уравнению

Дискриминант этого уравнения равен

.

и может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Интерпретация этих вариантов почти очевидна:

2.4 Для качественного описания изменения сопротивления найдем возможные стационарные (установившиеся) значения сопротивления.

как было показано в предыдущем пункте, при $p < \frac{1}{4}$, имеются две стационарные точки, являющиеся корнями уравнения

(19)

Эти корни равны (при заданном значении параметра )

$\overline{r} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4p}}{2}\ \Rightarrow \ \begin{array}{r} \left\{ \left( \overline{r} \right)_{1} = 0,\text{72} \middle\vert{} \right.\ \end{array}$ (20)

Еще раз построим графики функций при . Стрелками указано, как каждая мощность влияет на сопротивление. Этот рисунок подтверждает, что точка является устойчивой. Поэтому при начальном условии сопротивление будет монотонно стремиться к значению .

При $r_{0} < \left( \overrightarrow{r} \right)_{2} = 0,\text{28}$ сопротивление будет стремиться к нулю, т.е. терморезисторы в этом случае перегорают.

Нужно также отметить, что при приближении к нулю скорость падения сопротивления резко возрастает, линии пересекают ось времени практически вертикально.

На рисунках ниже показаны требуемые зависимости.

2.5 Максимальному значению напряжения соответствует максимальное значение параметра , которое, как следует из проведенного анализа, равно . Тогда из определения этого параметра , находим, что

. (21)

2.6 При уменьшении напряжения в 2 раза параметр уменьшается в 4 раза, т.е. оказывается равным (или 0,0625). Для определения установившегося значения сопротивления необходимо решить уравнение

(22)

и выбрать его больший корень, так как он является устойчивым, что можно проделать без комментариев

В соответствии с правилами представления точных и приближенных чисел

Имеем:

при (точно) тогда

(23)

при и

. (24)

2.7 Зависимости сопротивлений терморезисторов от времени описываются полученной ранее системой уравнений (14). Фактически мы должны проанализировать возможные решения этих уравнений. Из полученного ранее уравнения (15) следует, что разность сопротивлений при любых их значениях стремится к нулю, поэтому все фазовые траектории стремятся к диагонали диаграммы .

Просуммируем уравнения (14), чтобы получить уравнение для суммы сопротивлений.

Ранее мы показали, что стационарные точки существуют только при $p < \frac{1}{4}$ и нашли их значения (20). Нанесем их на фазовую диаграмму.

2.8 Как было показано ранее, точка с большим значением сопротивления является устойчивой, поэтому все фазовые траектории будут «уходить» в нее.

2.9 При устойчивых точек нет, поэтому все фазовые траектории будут разбегаться.