Пусть ось направлена вниз, а начальное положение центра масс рулона соответствует началу координат. Если скорость центра масс рулона в некоторый момент времени равна , то его кинетическая энергия составляет

С другой стороны, потенциальная энергия рулона относительно начального положения равна

В начальный момент времени полная энергия равна нулю, поэтому по закону сохранения

откуда получаем зависимость скорости центра масс рулона от координаты

Ускорение рулона определяется выражением

которое после подстановки (4) дает следующую зависимость

Полный импульс рулона направлен вдоль оси и равен

а значит изменение импульса со временем принимает вид

По условию задачи сила, действующая на платформу со стороны рулона, равна силе тяжести, а значит на сам рулон полная внешняя сила равна нулю, откуда получаем

Решая совместно (4), (6), (8) и (9), получаем квадратное уравнение

положительный корень которого равен

После подстановки в (4) и (6), соответственно находим

Задача 1.2 (4.0 балла)

В начальный момент времени конденсатор не заряжен и падения напряжения на подключенных сопротивлениях одинаково, то есть они соединены параллельно, поэтому

а показания омметра составляют

В момент времени конденсатор полностью заряжен и ток через него не течет, поэтому

а показания омметра составляют

Решая совместно (1)-(4), получаем


В произвольный момент времени падение напряжения на сопротивлении равно падению напряжения на сопротивлении и падению напряжения на конденсаторе , то есть

С другой стороны по закону Ома


где – сила тока, протекающего через резистор , а – сила тока, протекающего через конденсатор и сопротивление .
Падение напряжения на конденсаторе равно

Отметим, что зарядка конденсатора происходит вследствие протекания тока , генерируемого омметром, то есть

а ток, протекающий через конденсатор, равен производной его заряда по времени

Из уравнений (7)-(12), получаем дифференциальное уравнение для

решение которого дает силу тока через конденсатор

Здесь .
Таким образом, емкость конденсатора равна

Количество выделяемой на резисторе теплоты определяется законом Джоуля-Ленца и равно

XXII Международная Жаутыковская Олимпиада/Теоретический тур
с. 3/11

Отметим, что в принципе нет необходимости рассматривать отдельно уравнения (1)-(4), для нахождения неизвестных сопротивлений достаточно найти зависимость , которая имеет вид

Задача 1.3 (3.0 балла)

Действительное изображение с меньшим угловым размером сформировалось в результате отражения на границе «воздух-стекло» на вогнутой поверхности линзы как от вогнутого зеркала с радиусом кривизны на расстоянии, равном фокусному расстоянию зеркала

а значит изображение расположено от наблюдателя на расстоянии

Пусть – видимый угловой размер уличного фонаря с места расположения линзы. Тогда линейный размер изображения фонаря в фокусе равен

а значит угловой размер видимого изображения

Второе изображение с большим угловым размером – это мнимое изображение фонаря, которое сформировалось в результате отражения на границе «стекло-воздух» от выпуклой поверхности линзы. Учитывая то, что лучи, сформировавшие это изображение, дважды прошли через рассеивающую линзу с оптической силой , а фокусное расстояние выпуклой поверхности составляет , то фокусное расстояние системы равно

а само изображение расположено от наблюдателя на расстоянии

Линейный размер изображения фонаря в фокусе равен

а значит угловой размер видимого изображения

По условию , откуда получаем