Задача 11-1

Условие

Городская олимпиада (3-й этап) 2006 11 класс № 1

От трубки отрезали кусок длиной см (Рис. 1) и измерили его массу, которая оказалась равной г. Определите поверхностную плотность материала трубки .

Часть 2. Упругость, прочность и деформации.

Для описания растяжения пленки (Рис. 2) удобно использовать следующие характеристики:

Относительное удлинение - отношение удлинения прямоугольного куска пленки к ее первоначальной длине ;

линейное напряжение - отношение силы , равномерно приложенной к торцу прямоугольного куска пленки к ее ширине . Аналогичная величина характеризует и возникающие при деформации силы упругости: отношение суммарной силы упругости к ширине полоски.

⁴ Толщина стенок пренебрежимо мала по сравнению с радиусом трубки.
⁵ Не путать с обычной, «объемной» плотностью!

Для изучения упругих свойств полимера, отрезанный кусок трубки длиной см закрепили в вертикальном подвесе и к нижнему концу трубки стали подвешивать грузы известной массы , измеряя при этом удлинение трубки (Рис. 3). Результаты измерений представлены в Таблице 1.

При массе груза г удлинение трубки достигло максимального значения см, и трубка разорвалась.

2.1 Постройте график зависимости относительного удлинения трубки от линейного напряжения ее стенок.

При малых деформациях справедлив закон Гука, который утверждает, что силы упругости пропорциональны деформации. В данном случае его представим в виде: линейное напряжение сил упругости пропорционально относительному удлинению

$у п р$

где коэффициент пропорциональности называется модулем растяжения.

2.2 На основе экспериментальных данных обоснуйте справедливость закона Гука, определите модуль растяжения для исследуемой пленки. Оцените, при каких относительных деформациях погрешность приближенной формулы не превышает 5%.

Таблица 1. Зависимость удлинения трубки от массы подвешенного к ней груза.

, г	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500	550
, мм	9,5	20,0	29,5	40,5	49,5	57,0	64,5	71,0	73,5	77,0	78,5

Ускорение свободного падения равно $м с$ .

Часть 3. Давление.

В данной части задачи необходимо изучить деформации имеющихся трубок ( см) при повышении давления газа внутри них. Обозначим - разность между давлением газа внутри трубки и снаружи (далее эту величину будем называть избыточное давление). Будем считать, что длина трубки достаточно велика, так что ее деформация сводится только к увеличению радиуса трубки, то есть деформированная трубка остается цилиндрической.

3.1 Покажите⁶, что избыточное давление внутри трубки , связано с линейным напряжением стенок деформированной трубки уравнением

где - радиус деформированной трубки.

3.2 Используя данные Части 2, определите при каком избыточном давлении трубка разорвется.

3.3 Постройте график зависимости радиуса трубки от избыточного давления газа в ней во всем диапазоне возможных значений этого давления.

3.4. Предположим, что закон Гука (1) выполняется при любых деформациях полимера (с найденным ранее значением модуля растяжения ).

⁶ [^6]

3.4.1 В рамках этого приближения найдите функциональную зависимость⁷ радиуса трубки от избыточного давления внутри нее.

3.4.2 Укажите, при каких избыточных давлениях внутри можно пользоваться законом Гука.

3.4.3 Определите максимальное избыточное давление газа внутри трубки в приближении справедливости закона Гука.

3.5 При малых избыточных давлениях можно считать, что увеличение радиуса трубки пропорционально избыточному давлению газа внутри нее

где – постоянный коэффициент.

3.5.1 Докажите справедливость формулы (3).

3.5.2 Найдите значение коэффициента в формуле (3).

3.5.3 Укажите, при каких значениях избыточного давления , погрешность формулы (3) не превышает .

Часть 4. Электрические свойства.

*При протекании электрического тока параллельно одной из сторон (Рис. 4) прямоугольного куска пленки длиной (ширину куска обозначим ), ее электрическое сопротивление представим в виде

где - удельная линейная проводимость пленки.

Ток в пленке характеризуется поверхностной плотностью , равной отношению силы тока к ширине полоски по которой он протекает, в данном случае .

4.1 При пропускании электрического тока по изучаемой трубке (параллельно ее оси) оказалось, что при силе тока А напряжение между концами отрезка трубки длиной см равно В. Определите по этим данным удельную линейную проводимость материала трубки.

4.2. Так как пленка оказалась гибкой и проводящей, то возникла идея использовать ее в качестве обкладки конденсатора, емкость которого зависит от напряжения. Идея этого «изобретения»: деформация пленки внутри конденсатора зависит от приложенного напряжения, при деформации изменяется зазор между обкладками, что приводит к изменению его емкости. Для реализации идеи изготовлен цилиндрический конденсатор (Рис. 5), внутренней обкладкой которого служит исследуемая полимерная трубка, а внешней – металлическая трубка, зазор между обкладками конденсатора при недеформированной полимерной трубке равен мм (можно считать значительно меньшим радиусов обкладок). Обкладки конденсатора подключают к источнику постоянного напряжения . Длина конденсатора достаточно велика, поэтому краевыми эффектами можно пренебречь. Электрическая постоянная равна Ф/м.

⁷ Получите формулу!
Не путать с обычной объемной проводимостью!
Сравните: плотность тока – сила тока пересекающего площадку единичной площади, здесь поверхностная плотность тока – сила тока, пересекающего отрезок единичной длины.

4.2.1 Найдите относительное увеличение радиуса полимерной трубки¹⁰ , при напряжении источника кВ.

4.2.2 Найдите, максимальное напряжение которое, можно подавать на этот конденсатор, до его выхода из строя.

Часть 5. Магнитное воздействие.

Провалившаяся идея с конденсатором изменяющейся емкости, стимулировала дальнейшие поиски применения нового материала. Исследуемую трубку стали использовать в качестве внешней оболочки соленоида (Рис.6). Однослойная обмотка соленоида сделана из тонкого изолированного провода, располагается на непроводящем ферромагнитном сердечнике радиуса см с магнитной проницаемостью (явлениями магнитного гистерезиса в нем при заданных значениях токов следует пренебречь), плотность намотки (число витков на единицу длины) равна см, ее длина см (что, можно считать значительно больше радиуса соленоида). Внешняя трубка из исследуемого материала насаженная на обмотку при отсутствии тока в ней не деформирована. Соленоид подключен к источнику переменного электрического тока, частота которого равна Гц, амплитудное значение ЭДС В, внутренним сопротивлением источника и активным сопротивлением обмотки можно пренебречь.

5.1 Получите систему уравнений, описывающих законы изменения токов в обмотке соленоида и линейную плотность тока в оболочке.

5.2 Найдите амплитудные значения силы тока в обмотке соленоида и линейной плотности тока в оболочке.

5.3 При протекании тока в обмотке оболочка нагревается. Найдите среднюю мощность теплоты, выделяющейся в оболочке, и среднюю мощность, потребляемую от источника.

5.4 Пренебрегая массой оболочки, оцените максимальное увеличение радиуса оболочки.

5.5 При протекании тока в соленоиде оболочка начинает вибрировать и издавать звук. При какой частоте тока в обмотке громкость этого звука будет максимальной (при неизменной амплитуде ЭДС источника тока)?

Часть 6. Сверхпроводимость.

Соленоид с исследуемой трубкой в качестве оболочки подключили к источнику постоянного тока. После того, как сила тока в обмотке соленоида достигла постоянного значения , оболочку охладили и перевели в сверхпроводящее состояние (считайте, что при этом ее упругие свойства не изменились). Затем, не отключая источника тока, соленоид осторожно вынули из трубки.

6.2 При каком начальном значении тока в обмотке соленоида в описанном эксперименте трубка разорвется после извлечения соленоида?

6.1 Найдите радиус трубки после того, как соленоид полностью достали из нее при силе тока в обмотке соленоида равной А.

¹⁰ Мы обозначили здесь его , чтобы не путать с электрической постоянной.

Примечания

4. Толщина стенок пренебрежимо мала по сравнению с радиусом трубки. 5 Не путать с обычной, «объемной» плотностью! ↩
6. Если не сможете вывести это уравнение, то никто не запрещает вам пользоваться им в дальнейшем! ↩
7. Получите формулу! 8 Не путать с обычной объемной проводимостью! 9 Сравните: плотность тока – сила тока пересекающего площадку единичной площади, здесь поверхностная плотность тока – сила тока, пересекающего отрезок единичной длины. ↩
10. Мы обозначили здесь его x , чтобы не путать с электрической постоянной. ↩

Нужна подсказка? →

Условие

Примечания

Похожие задачи