Внизу очень высокого цилиндра колеблется тяжелая платформа. Платформа движется вверх и вниз с постоянной по модулю скоростью и с некоторым периодом . Время торможения и разгона платформы пренебрежимо малы, т. е. можно считать, что, достигая нижнего или верхнего положения, платформа мгновенно изменяет скорость на противоположную.

На платформу с некоторой высоты падает маленький шарик. Непосредственно перед столкновением с платформой шарик движется вниз с некоторой скоростью , а сам поршень находится в крайнем нижнем положении и движется вверх (см. рис.).

Возможна ситуация, при которой шарик в процессе движения всегда ударяется о платформу, находящуюся в одном и том же (описанном выше) положении, и при этом всегда приобретает дополнительную скорость.

1. Покажите, что при заданной скорости такая ситуация возможна, только если период колебаний платформы и скорость, с которой шарик подлетает к платформе, удовлетворяют следующим условиям:

Пусть м/с, а м/с.

2. Найдите численные значения и .

В задаче рассматривается только случай, когда скорость шарика гораздо больше скорости платформы () и высота, на которую поднимается шарик, намного больше амплитуды колебаний платформы. Последнее условие сформулируем следующим образом: ().

3. Как должны быть связаны числа и , чтобы эти условия выполнялись?

4. Определите значение наименьшей «резонансной» скорости , которой может обладать подлетающий к платформе шарик, а также интервал между двумя резонансными скоростями для , и .

Рассмотрим более подробно поведение шарика, подлетающего к платформе с резонансной скоростью при .

5. Определите моменты времени -го касания шарика и платформы, а также максимальную высоту подъема шарика после -го касания.

6. Изобразите схематически зависимость координаты шарика от времени (обозначьте характерные точки: моменты удара, максимальные высоты).

Пусть скорость шарика отличается от резонансной на величину (). Рассмотрите только случай, когда .

7. Через какое количество ударов процесс увеличения высоты подъема сменится уменьшением? Выразите это время через отношение .

8. Какое время будет продолжаться разгон и на какую максимальную высоту сможет подняться этот шарик?

9. Нарисуйте качественный график зависимости .

10. Полученное в п. 8 значение высоты является несколько заниженным, т.к. сама платформа находится в различных положениях при каждом следующем ударе. Оцените ошибку определения максимальной высоты подъема.

Задача 1. «Railgun»

Программа СОИ США сосредоточила публичное внимание на электромагнитных пушках...
М. Леффлер

Электромагнитные пушки давно заполонили компьютерные игры, боевики ... и даже являются объектами серьезных научных и инженерных исследований. Нам не кажется, что за отведенное Вам время, Вы сможете предложить принципиально новые принципы создания такого оружия. Но, Вы обязаны продемонстрировать свои знания и способности в объяснении и описании основных принципов устройства такого оружия.

Основная идея разгона снарядов заключается во взаимодействии снаряда с магнитным полем, создаваемым системой катушек, по которым пропускаются сильные импульсы электрического тока.

Вам предстоит рассмотреть простейший вариант – система катушек заменяется на одну, которая, в свою очередь, рассматривается как круговой виток радиуса с током, силу которого будем обозначать . Для производства выстрела кольцо подключают к батарее конденсаторов суммарной емкостью , заряженной до напряжения . Электрическое сопротивление кольца обозначим (чтобы не путать с его радиусом), индуктивностью кольца можно пренебречь.

Излучением электромагнитных волн во всех случаях следует пренебрегать.

Вдоль оси витка расположен тонкий, длинный, гладкий, непроводящий и немагнитный стержень. Со стержнем совместим ось координат , начало которой находится в центре кольца.

Вдоль стержня может скользить без трения цилиндрический снаряд массы . Размеры снаряда – его радиус и длина , значительно меньше радиуса витка . Во всех случаях, электромагнитные свойства снаряда моделируются проводящим круговым витком, в котором протекает, или может протекать электрический ток, силу которого будем обозначать . Магнитные свойства снаряда будут варьироваться по ходу задачи.

Магнитное поле, создаваемым круговым током описывается достаточно сложно. Однако, на оси кольца вектор индукции магнитного поля направлен вдоль этой оси, а его модуль на расстоянии от центра кольца определяется по формуле