0.1 Для расчета радиальной компоненты магнитного поля можно воспользоваться теоремой о магнитном потоке (или свойством замкнутости силовых линий магнитного поля), из которой следует, что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Выделим тонкий цилиндр толщиной и радиуса , нижнее основание которого находится на расстоянии от центра кольца, соосный с кольцом и применим теорему о магнитном потоке к поверхности этого цилиндра. Магнитный поток через нижнее основание равен (учтите, что вектора индукции и нормали здесь противоположны)

где - значение вертикальной компоненты вектора индукции на высоте ;
поток через верхнее основание равен

где - значение вертикальной компоненты вектора индукции на высоте ;
поток через боковую поверхность (из осевой симметрии следует, что модуль радиальной составляющей вектора индукции на этой поверхности постоянен):

Сумма этих потоков равна нулю, поэтому справедливо уравнение

из которого определим искомую величину

0.2 Так как вид зависимости радиальной компоненты вектора индукции задан в условии задачи, то для расчета радиальной компоненты достаточно вычислить производную от этой функции

1.1. Понятно, что сила, действующая на снаряд, определяется радиальной компонентой поля и по закону Ампера равна

Для построения графика зависимость (3) удобно представить в виде

где обозначено .

График этой функции теперь можно представить в относительных единицах, он показан на рисунке. Так как функция нечетная, то приведен график только для положительных значений .

Максимум этой функции можно найти обычным способом. Найдем производную от функции (4) и приравняем ее к нулю

Из этого уравнения следует, что функция имеет экстремумы при , ее значение в максимуме равно

1.2 Для того, чтобы скорость снаряда была максимальна, его надо поместить в точку, где сила магнитного поля максимальна, то есть т.е при . В этом случае эта сила пропорциональна току в кольце и равна

Запишем уравнение второго закона Ньютона для снаряда

Здесь сила тока представлена через величину электрического заряда, протекающего по катушке. С учетом того, что в начальный момент снаряд покоился, из уравнения (8) следует, что скорость снаряда пропорциональная заряду, протекшему по кольцу (причем она не зависит от временной зависимости силы тока):

При разрядке батареи по кольцу пробежит весь заряд, накопленный в ней , поэтому

1.3 Как следует из полученной формулы, при изменении полярности батареи (изменении направления тока) направление полета снаряда изменится на противоположное.

2.3 Не зависимо от направления силы тока в кольце снаряд полетит в сторону центра кольца.

3.1 Сначала найдем, какой ток индуцируется в катушке снаряда. Так электрическим сопротивлением катушки можно пренебречь, то в любой момент времени сумма ЭДС самоиндукции и ЭДС индукции, возникающей благодаря изменению внешнего поля равна нулю

Из этого уравнения следует, что сила тока в катушке снаряда пропорциональна индукции магнитного поля кольца

Знак минус указывает, что ток в катушке направлен противоположно току в кольце (что также следует из правила Ленца). Следовательно, снаряд будет отталкиваться от кольца. В

остальном, решение этой части задачи полностью совпадает с решением предыдущей. Достаточно заметить, что в данной части коэффициент пропорциональности равен

и подставить его в окончательный результат. Поэтому модуль максимальной скорости снаряда равен

3.2 При любом подключении батареи конденсаторов снаряд будет двигаться от центра катушки, убегать от нее!