2.1 В данном эксперименте силы упругости направлены вдоль оси трубки, поэтому линейное напряжение сил упругости, возникающей в трубке равно

относительное удлинение материала трубки есть

По этим формулам необходимо рассчитать соответствующие значения по данным Таблицы 1 условия задачи. Результаты расчетов приведены в таблице 1, на основании которой построен график требуемой зависимости (Рис. 1). На этом же графике нанесена точка разрыва.

Кривая на этом графике проведена «на глаз».

Таблица 1. Зависимость относительного удлинения от линейного напряжения.

2.2 По графику видно, что первые точки с хорошей точностью лежат на прямой, что подтверждает справедливость закона Гука в этом диапазоне.

Через эти точки и начало координат проведем прямую и определим коэффициент ее наклона . Этот коэффициент можно определить:

• по одной точке (только какую выбрать?);
• по нескольким начальным точкам (по 3-5), с последующим усреднением;
• по графику линейной зависимости;
• по методу наименьших квадратов (МНК) по первым 5 точкам (этот метод наиболее предпочтительный).

Расчет по МНК по приводит к результату . Следовательно, значение модуля растяжения равно

*Не смотря на то, что в условии приведены данные с тремя значащими цифрами, имеющийся разброс экспериментальных данных не позволяет получить значение параметра с точностью большей двух значащих цифр.

С помощью графика определяем, что первый пять точек лежат близко к линейной зависимости (шестая и последующие точки закономерно отклоняются от нее), поэтому можно оценить границу применимости закона Гука как

3.1 Мысленно выделим на деформированной трубке небольшое кольцо, высотой (Рис. 3), а на нем малую площадку , видимую из центра под малым углом . Площадь этой площадки равна . Так как площадка находится в равновесии, то сумма сил, действующих на нее, равна нулю. Сила давления газа направлена перпендикулярно выделенной площадке и равна . Силы упругости, действующие на боковые стороны выделенной площадки, направлены по касательной к боковой поверхности и равны по модулю , где - линейное напряжение стенок.

Рис. 3

Запишем условие равновесия выделенной площадки в проекции на нормаль

Подставим выражения для сил давления и упругости и считая угол малым (при этом ) в это уравнение

и после сокращения получаем требуемое уравнение (которое является основой дальнейшего решения):

Возможны и другие варианты вывода этого уравнения. Например, можно рассмотреть условия равновесия половины кольца (Рис. 4). Тогда сумма сил давления уравновешивается двумя силами упругости , что также приводит к уравнению (7).
Рис. 4

Заметим, что в данном случае можно говорить о давлении сил упругости. Для этого следует выделить на боковой поверхности цилиндра небольшую площадку, найти векторную сумму тангенциальных сил упругости, (которая направлена перпендикулярно к поверхности) и разделить ее на площадь выделенной площадки. Как следует из приведенного решения это давление в данном случае равно .

3.2 Из данных Части 2. определяем, что максимальное относительное удлинение пленки равно

а максимальное линейное напряжение

Подставляя эти данные в уравнение (7), получим значение максимального давления, которое может выдержать трубка

3.3 Для построения требуемой зависимости следует воспользоваться уравнением (7), в котором линейное напряжение является известной функцией от относительной деформации. Представим также радиус деформированной трубки через ее относительную деформацию . В результате получим уравнение

В этом уравнении функция задана в виде таблицы 1, или графика (Рис.1), аналитический вид этой зависимости неизвестен. Поэтому уравнение (11) не может быть решено относительно аналитически. Если нельзя найти зависимость , то следует попытаться рассчитать обратную зависимость , что можно сделать элементарно из уравнения (11)

с помощью данных таблицы 1. Используя эти данные, следует рассчитать радиус трубки и по формуле (12) соответствующее давление. Результаты расчетов представлены в Таблице 2, по которым построен график (Рис. 5)

Таблица 2. Зависимость радиуса трубки от избыточного давления внутри нее.

Уравнение (12) также может быть решено графическим методом. Для этого представим его в виде

График функции построен ранее, теперь на нем следует провести семейство прямых, описываемых функциями *. Ордината точки пересечения прямой* с графиком функции даст решение уравнения (12a) при заданном значении . Построение указанных прямых очень просто: все они пересекаю вертикальную ось при , а горизонтальную при . Указанное построение приведено на Рис. 6. Естественно, что полученное таким способом решение совпадает с построенным ранее.

3.4.1 В приближении закона Гука, в уравнение (7) необходимо подставить явное выражение для линейного напряжения :

Из этого уравнения определяем требуемую зависимость

График этой функции показан на Рис. 5.

3.4.2 Ранее мы установили, что закон Гука справедлив при относительных деформациях меньших . Эта деформация возникает при избыточном давлении Па, следовательно, приближением закона Гука и следующей из него формулой (13) можно пользоваться при

Из графика функции (13) на рис. 5, также следует, что это приближение достаточно точно описывает экспериментальные данные при , то есть при той же относительной деформации.*

3.4.3 Значение радиуса трубки, рассчитанное по формуле (13), стремится к бесконечности, если знаменатель устремляется к нулю, что достигается при максимально возможном давлении, равном

Заметим, что это значение больше, рассчитанного ранее по табличным данным. Кроме того, в этом решении причина существования максимального давления иная – при возрастании радиуса трубки возрастающие силы упругости не в состоянии удержать быстрее возрастающие силы давления газа.

3.5.1 Считая избыточное давление малым, используем приближенную формулу для упрощения функции (13)

Из этого выражения получим формулу для определения изменения радиуса трубки

Пренебрегая вторым слагаемым, получаем линейную зависимость между изменением радиуса и избыточным давлением

3.5.2 Значение коэффициента пропорциональности в этой формуле равно

График линейной функции (16) с найденным коэффициентом также показан на рис. 5.

3.5.3 Второе слагаемое в формуле (15), которое было опущено, может служить оценкой погрешности формулы (16). Таким образом, относительная погрешность линейного приближения равна

Следовательно, погрешность формулы (16) не будет превышать установленный предел при

4.1 Используя приведенную формулу для сопротивления и закон Ома

получим значение удельного сопротивления пленки

4.2 Пусть поверхностная плотность зарядов на обкладках конденсатора равна . Тогда напряженность электрического поля в конденсаторе равна , причем напряженность поля, создаваемого только одной обкладкой, в два раза меньше . Следовательно, сила, действующая на единицу площади обкладки (т.е. давление электрического поля) равна

и совпадает с объемной плотностью энергии поля.

4.2.1 Для дальнейшего решения задачи можно воспользоваться уравнением (7), в котором роль избыточного давления будет играть сила давления электрического поля.

Заметим, что электрические силы, действую снаружи от трубки, но стремятся ее растянуть, как избыточное давление газа внутри нее, поэтому указанная замена допустима.

Далее, обратим внимание, что максимально возможная деформация трубки (ограниченная внешним металлическим цилиндром) составляет 10%, поэтому для вычисления линейного механического напряжения стенок трубки можно пользоваться законом Гука.

Так как конденсатор подключен к источнику, то напряжение на обкладках остается постоянным при изменении расстояния между трубками. Выразим напряженность электрического поля внутри конденсатора через напряжение источника

(здесь - внутренний радиус металлической трубки). Таким образом, давление поля выражается формулой

Наконец, запишем уравнение, связывающее увеличение радиуса трубки с приложенным напряжением (которое будет являться основой дальнейшего решения):

В этом уравнении слева стоит давление электрического поля, справа — уравновешивающее его давление сил упругости. Уравнение (22) можно привести к алгебраическому уравнению третьей степени, поэтому сначала необходимо проанализировать его решение, а затем провести возможные упрощения (основанные на разумных и обоснованных приближениях). Для этого выразим увеличение радиуса трубки через относительную деформацию и подставим в уравнение (22)

Обозначим безразмерные величины, рассчитаем их численные значения (все величины представлены в системе СИ)

и получим «безразмерное» уравнение

В этом уравнении является малой величиной, поэтому и его решение также мало, поэтому попытаемся пренебречь малыми величинами и в знаменателях этого уравнения. Тогда решение этого уравнения

Малость полученного значения полностью оправдывает сделанное приближение.

К этому же решению можно подойти другими способами. Так, сразу рассчитав давление электрического поля при отсутствии деформации,

видим, что оно крайне мало (ранее были тысячи паскалей), поэтому и деформация будет малой.

Следовательно, при расчете электрического взаимодействия и сил упругости им можно пренебречь и записать уравнение (22) в виде

из которого сразу следует (24).

4.2.2 Причиной возможного выхода конденсатора из строя может служить короткое замыкание, которой произойдет, если растягивающаяся трубка прикоснется к внешнему цилиндру, то есть когда относительная деформация станет равной .

Непосредственная подстановка этого значения в уравнение (23) невозможно, так при этом знаменатель обращается в нуль. Для анализа поведения полимерной трубки при увеличении напряжения построим примерные графики зависимостей электрического и упругого давлений от относительной деформации в интересующем диапазоне . Это проще сделать для «безразмерных» функций (Рис. 7):

Введенный здесь параметр зависит от приложенного к конденсатору напряжения .

Рис. 7 Рис. 8

При малых значениях параметра в интересующем нас интервале эти графики имеют две точки пересечения, следовательно, уравнение (23) имеет два корня! Легко показать, что первый (найденный нами) соответствует устойчивому положению трубки, второй — неустойчивому. Ясно, что при увеличении напряжения от нуля будет реализовываться именно первое, устойчивое положение равновесия (так оно ближе к нулю). С ростом напряжения источника (и соответствующего возрастания параметра ) кривая зависимости электрического давления будет приподниматься и, наконец, при некотором критическом значении эти кривые будут иметь единственную общую точку, точку касания. Именно при этом условии конденсатор потеряет устойчивость. Критическое значение может быть найдено различными способами. Рассмотрим самый простой (по нашему мнению) из них. Заметим, что в рассматриваем диапазоне кривую упругого давления с высокой точностью можно заменить на прямую .

С учетом этого, перепишем уравнение (23) в виде

Понятно, что это равносильное (23) уравнение не будет иметь корней, если значение параметра превышает максимум функции . Производная этой функции

обращается в нуль при , (значению соответствует точка разрыва функции). Таким образом, максимальное значение этой функции и критическое значение параметра найдем, подставив это значение в формулу (26)

Используя выражение для введенного параметра, получаем , откуда следует, что критическое напряжение равно

*Обратите внимание, при напряжении в 1 кВ деформация трубки фактически пренебрежимо мала, а при напряжении 7 кВ – в конденсатор происходит короткое замыкание. Надо признать – не очень надежное устройство изобретено.

Для окончательного подтверждения точности полученного решения построим график функции* (26) Рис.8 – сплошная линия. Пунктиром построена точная функция (без сделанного приближения об упругом давлении).*

Видно, что эти функции различаются незначительно. Так, в районе найденного максимума различия в этих функциях оценим из разложения

из которого следует, что относительная ошибка нашего приближения составляет величину что приводит к ошибке в определении 32

максимально напряжения (с учетом ) в два раза меньшей, то есть порядка . Такая точность не обеспечивается точностью исходных данных, поэтому является излишней. Обратите внимание, что при малых график этой функции линеен, что подтверждает допустимость сделанных приближений при определении деформации по формуле (24).

Отметим, что с помощью графика на Рис.8 можно решать и исходное уравнение (23). Его корням соответствуют точки пересечения графика этой функции с горизонтальной прямой (для наглядности значение параметра завышено по сравнению с решением в предыдущем разделе задачи). Кроме того, видно, что это уравнение имеет целых три корня, как и положено уравнению третьей степени! Причины появления этого корня установите самостоятельно, нас же он не интересует, так как всегда выходит за пределы интересующего нас интервала.

5.1 При протекании переменного электрического тока по обмотке соленоида, внутри него возникает переменное магнитное поле, которое индуцирует ЭДС как в обмотке соленоида (самоиндукция), так и в проводящей полимерной оболочке. Индуцированный в оболочке электрический ток – круговой и протекает по ее поверхности перпендикулярно оси (Рис. 10). Этот ток будет оказывать аналогичное обратное влияние на ток в обмотке. Так как внутри системы имеется сердечник с большой магнитной проницаемостью, то магнитным потоком в узком пространстве между обмоткой и оболочкой можно пренебречь.

Индукция магнитного поля в сердечнике , создаваемого током в обмотке , рассчитывается по известной формуле

Заметим, что произведение представляет собой поверхностную плотность тока в обмотке, поэтому эта же формула справедлива и для расчета индукции поля, создаваемого током в оболочке

Положительным направлением токов будем считать направление «против часовой стрелки» (Рис. 11), тогда положительное направление вектора индукции определяется по правилу буравчика.

На рисунке указаны положительные направления токов и векторов индукции, хотя реально направления токов в обмотке и оболочке противоположны, их «правильные» направления автоматически появятся при правильной записи уравнений, описывающих эти токи.

Магнитный поток через поперечное сечение рассматриваемой системы запишем в виде

Преобразуем это выражение, для чего заметим, что величина

(где - число витков обмотки) является индуктивностью соленоида (в отсутствии оболочки), так как она может быть представлена в виде , - поток через один виток магнитного поля, создаваемого током в обмотке. Электрический ток в полимерной оболочке равномерно распределен по ее поверхности. Поэтому можно

записать выражение для суммарного тока , текущего по оболочке. Второе слагаемое в этом случае имеет вид

Окончательно, магнитный поток записывается в виде

Возникающая при изменении магнитного потока ЭДС индукции одинакова в одном витке обмотки и оболочке и равна

Так как активным сопротивлением контура, состоящим из источника и обмоткой соленоида можно пренебречь, то для него сумма ЭДС источника и индукции во всех витках соленоидам равна нулю, поэтому

Запишем уравнение суммарного тока , текущего по оболочке. Общее сопротивление оболочки при указанном протекании тока равно (по сравнению с предыдущим продольным протеканием, «длина» и «ширина» поменялись местами):

Предположим пока, что сопротивление кольца не зависит от его деформации. Для суммарного тока справедлив закон Ома для полной цепи , или

Уравнения (34) и (36) образуют систему, описывающую изменения токов в обмотке и оболочке. Подставив в нее выражение для потока, получим эту систему в явном виде

1. Без введения обозначений для индуктивности и сопротивления оболочки эта же система будет выглядеть более громоздко.
   

   

   Выделим тонкое кольцо толщиной (Рис. 12). Сила тока, протекающая по этому кольцу равна , а его сопротивление равно *. Закон Ома для выделенного* кольца имеет вид
   
   Таким образом, получаем систему, описывающих изменения токов: