Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2007 10 класс № 3
  1. Легко заметить из рисунка 1, что наличие угла увода у передних колёс уменьшает угол поворота, а у задних — увеличивает. Т.е.
    ПЗ
  2. Нагрузки на колёса равны силам реакции дороги на эти колёса. Для нахождения этих величин необходимо записать второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, а также уравнения для равенства моментов относительно нескольких осей, чтобы получить четыре независимых уравнения. Однако можно поступить проще. Если автомобиль покоится, то силы реакции определить не трудно:
    ПЛППЗЛЗП
    При левом повороте, к правым колёсам приложится дополнительная нагрузка , а сила, действующая на левые колёса, наоборот уменьшится на эту величину. Получим:
    ПЛППЗЛЗП
  3. Запишем условие равенства моментов сил относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести автомобиля:
    ПЛППЗЛЗП
    т.е. автомобиль не вращается. Подставляя значения сил, получим:
    ППЛПППЗЗЛЗЗП
    или
    ППЛППППЛПП
    Подставив значения нагрузок, получим:
    ПЗ
    а значит

    – нейтральная поворачиваемость.
  4. Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось «центр тяжести автомобиля – центр кривизны поворота»:
    ПППЛЗЛЗП
    или, подставляя значения сил, и учитывая, что ПЗкр,

Максимальная скорость равна

  1. Рассмотрим движение в левом повороте. При наличии схождения передних колёс, углы увода левого и правого колёс отличаются от некоторого среднего значения на величину , т.е.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось «центр тяжести автомобиля – центр кривизны поворота» и условие равенства моментов сил относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести автомобиля:

Решение системы:

Угол поворота:

Необходимо учесть, что , тогда

Выражая , получим:

Делаем вывод: при положительном – автомобиль обладает избыточной поворачиваемостью, при – недостаточной.

  1. При определённой скорости движения знаменатель в формуле (17) обращается в нуль. Это значит, что при малейшем движении руля, угол поворота становится очень большим и автомобиль разворачивается. Значение критической скорости:

  1. По-прежнему рассматриваем левый поворот. Необходимо определить, какое колесо первым потеряет сцепления с дорогой. Предположим, что это будут задние колёса. Для того чтобы это произошло, необходимо, чтобы

В этом случае значение максимальной скорости совпадает со значением, полученным в пункте 4:

Однако необходимо проанализировать, действительно ли задние колёса сорвутся первыми. Единственным «конкурентом» является переднее правое колесо.

Подставим значение (19) в формулу (14) для .

Для переднего правого колеса:

Из формулы (21) делаем вывод, что при

значение будет больше , т.е. первым сорвется переднее правое колесо, после чего процесс станет необратимым. Для нахождения критической скорости, запишем условие достижения критического угла увода передним правым колесом.

Выражая , получим:

Заметим, что если , то и .

Таким образом, максимальная скорость определяется либо срывом задних колёс, либо срывом переднего правого колеса в зависимости от соотношения между величинами (23).