Как связаны концентрация раствора и масса растворённого вещества при данном объёме?

Примените определение концентрации: масса растворённого вещества равна произведению концентрации на объём раствора.

1. Найдите массу растворённого вещества в сосуде как произведение на объём .
2. Аналогично найдите массу растворённого вещества в сосуде как произведение на объём .
3. Выразите найденные массы через , и .

Что происходит с массой растворённого вещества при первом переливании и последующем перемешивании?

Используй сохранение массы растворённого вещества: при переливании масса, которую переносит малый сосуд, равна объёму умноженному на текущую концентрацию; после вливания и перемешивания концентрация в сосуде определяется отношением суммарной массы вещества к общему объёму.

1. Найдите массу вещества, перенесённую из в при первом переливании: .
2. Запишите новую массу растворённого вещества и новый объём в сосуде , затем выразите его концентрацию как отношение массы к объёму.
3. Учтите, что при обратном переливании из в берётся раствор с концентрацией , перенесённый объём , и запишите изменение массы в ; после этого выразите концентрацию как отношение итоговой массы к объёму .
4. Выразите и через , , и .

Как повторяющиеся циклы переливаний изменяют концентрации? Попробуй увидеть рекурсивную связь между шагами.

Построй рекуррентные соотношения: концентрации после каждого цикла связаны с предыдущими через линейные преобразования, вытекающие из сохранения массы и пропорций переливания.

1. Запиши преобразование, дающее через , составив уравнения для масс, переносимых в каждом переливании в цикле.
2. Упиши это преобразование в матричной или другом компактном линейном виде, показывающем однотипное действие при каждом цикле.
3. Возведи матрицу преобразования в степень (или реши рекурренты стандартным способом) и применяй к вектору начальных концентраций .
4. Выразите и через , , , и номер цикла .

Куда уходит тепло тела при переносе между сосудами и как это влияет на температуры воды?

Используй закон сохранения энергии (тепловой баланс): при установлении теплового равновесия сумма тепловых изменений тела и воды в сосуде равна нулю; перенос повторяется циклично, даёт линейную рекурсию для температур.

1. Запиши уравнение теплового баланса при контакте тела с водой в сосуде: изменение энергии тела плюс изменение энергии воды равно нулю, выражая эти изменения через теплоёмкости и разности температур.
2. Составь преобразование, связывающее пары температур и , учитывая, что тело поочерёдно контактирует сначала с , затем с в одном цикле.
3. Приведи это преобразование к рекуррентной линейной форме (матрица умножения на вектор температур или эквивалентная система уравнений).
4. Выразите и через , , , , и .