Колеблющиеся поплавки — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2014 11 класс № 1

1.1

1.1 При малом отклонении от положения равновесия уравнения движения центра шара имеет вид
$А$
где - масса шара (равная силе Архимеда в положении равновесия), $А$ - изменение силы Архимеда при отклонении от положения равновесия на малую величину , - квадрат радиуса сечения шара на уровне воды в положении равновесия. Подстановка этих выражений в уравнение приводит к уравнению

Которое является уравнением гармонических колебаний с периодом

1.2

1.2 При изменении массы шара в 3 раза в уравнении (1) ничего кроме массы не изменилось, поэтому период колебаний возрастет в раз.

2.1

2.1 Для устойчивого плавания центр масс должен находится ниже центра плавучести (то есть центра масс вытесненной жидкости), то есть ниже половины погруженной части. Иными словами, расстояние от нижнего основания цилиндра до центра масс должно быть меньше чем

2.2

2.2 Уравнение движения поплавка при малом отклонении от положения равновесия имеет вид
$А$
Здесь , $А$ . Подставляя в уравнение (2), получим.

Следовательно, период малых колебаний поплавка равен

2.3

2.3 В этом случае необходимо учесть движение воды и изменение ее потенциальной энергии при движении стержня. Поэтому для решения задачи лучше воспользоваться уравнением закона сохранения энергии. Не сложно заметить, что площадь поперечного сечения воды между цилиндрическим поплавком и стенками сосуда в 3 раза больше

поперечного сечения поплавка . Поэтому если поплавок опускается вниз со скоростью , то вода в объеме поднимается вверх со скоростью . Следовательно, в этом случае кинетическая энергия системы оказывается равной:

$поплавка воды$

При опускании цилиндра его потенциальная энергия уменьшается на величину

При этом слой воды, находившийся под цилиндром (толщиной ), должен подняться на высоту цилиндра и растечься по свободной поверхности, занимая слой толщиной . Поэтому изменение потенциальной энергии этой воды равно

Таким образом, суммарное изменение потенциальной энергии системы равно

С учетом проведенных расчетов, уравнение закона сохранения энергии приобретает вид

Из которого следует, что период колебаний поплавка в сосуде становится равным

То есть возрастает в полтора раза.

Примечания

1. Задача допускает и более короткое решение, кроме того, в решении есть пункты, которые отсутствуют в окончательном варианте условия. Но автор очень старался! ↩

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Примечания

Похожие задачи