Дисковый маятник — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2018 11 класс № Э2

1.1

1.1 Координата центра масс диска с грузами определяется по стандартной формуле

Поэтому параметр и равен отношению массы грузов к массе всего маятника. Существенно, что координата центра масс самого диска равна нулю.

1.2

1.2 Для определения вида зависимости периода колебаний от расстояния можно воспользоваться энергетическим подходом. Обозначим угол отклонения маятника от вертикали . Тогда кинетическая энергия пропорциональна квадрату угловой скорости :

Причем коэффициент пропорциональности (момент инерции) не зависит от положения грузов на окружности, т.е. не зависит от параметра . Потенциальная энергия определяется формулой

(Здесь ) и зависит от положения грузов! Записывая уравнения закона сохранения энергии для колебательного движения маятника

Видим, что оно описывает гармонические колебания с периодом

3.1

3.1 Параметр легко измерить. Для этого достаточно подвесить маятник за одно из отверстий и с помощью отвеса (в качестве которого можно использовать, например, линейку) определить положение центра масс .

В нашей установке получены следующие значения

$см см$

3.2

3.2 В таблице 1 приведены результаты измерений периодов колебаний от параметра . Для каждого положения грузов трижды измерены времена колебаний. В качестве результат измерения периода использовалось среднее значение времен колебаний, деленное на их число

Для оценки погрешности измерений первоначально рассчитывалась погрешность измерения времени по формуле

Здесь . Погрешности измерения периодов рассчитаны по формуле

Таблица 1.

, мм	Времена 5 колебаний			, с	Период колебаний
	, с	, с	, с		, с	, с

19	7,66	7,73	7,82	7,737	1,547	0,037
30	6,79	6,74	6,76	6,763	1,353	0,012
39	6,33	6,38	6,34	6,350	1,270	0,012
49	5,72	5,71	5,73	5,720	1,144	0,005
58	5,37	5,32	5,35	5,347	1,069	0,012
68	5,14	5,13	5,11	5,127	1,025	0,007
78	4,86	4,85	4,81	4,840	0,968	0,012
85	4,58	4,49	4,52	4,530	0,906	0,021

График полученной зависимости показан на следующем рисунке.

3.3

3.3 В данном эксперименте возможна систематическая ошибка в измерении параметра , по нескольким причинам: неточность вырезания диска; неоднородность картона, неточность выбора оси вращения и большой размер отверстия; неточность положения грузов и т.д. Поэтому истинное значение этого параметра может быть записано в виде , где - некоторый систематический, но не известный сдвиг. При измерении периодов колебаний присутствуют только случайные ошибки. С этой точки зрения лучшей линеаризацией является зависимость . В этом случае систематическая ошибка параметра приведет только к сдвигу прямой линии. На рисунке показана эта линеаризованная зависимость. Ее линейность подтверждает найденную теоретическую зависимость (5).

3.4

3.4 Полученная зависимость описывается линейной функцией

где $с мм$ , $мм$ .

Как оказалось, действительно, в измерении присутствует заметный сдвиг .

Дополнение. Ликбез повышенного уровня.

Наличие постоянного сдвига заметно ухудшает другие «очевидные» способы линеаризации.
На первый взгляд кажется, что хорошей линеаризацией зависимости
$\text is only supported in math modeT = \frac{C}{\sqrt{z}} \tag{\text{Д}1}$
Является двойной логарифмический масштаб
$\text is only supported in math mode\ln T = A + \beta \ln z \tag{\text{Д}2}$
Если в этих координатах коэффициент наклона окажется равным , то эксперимент подтверждает зависимость (Д1).
Посмотрите, что же получается при такой линеаризации: коэффициент наклона (корень кубический!?). Если же ввести найденный сдвиг и построить зависимость «со сдвигом» , то при коэффициент наклона оказывается равным ожидаемому значению . Для демонстрации зависимости рассчитанного показателя степени от сдвига на рисунке построена зависимость при

Аналогичная ситуация складывается и при другой «очевидной» линеаризации .

На следующем рисунке показано несколько кривых зависимости при , которые показывают, как эта зависимость выпрямляется при правильно найденном значении сдвига.

← Подсказки Режим тренировки →

Решение

Похожие задачи