Нарисуй циферблат и отметь, что полный оборот — одна целая окружность. Подумай, на сколько одинаковых частей разбиты шкала часов и шкала минут на циферблате.

Приравняй угол полного оборота, записанный в обычных градусах, к углу того же оборота, записанному в новых единицах (в угловых часах и в угловых минутах). Это даст соотношения между единицами.

1. Запиши, что полный оборот на циферблате можно записать и в градусах, и в угловых часах, и в угловых минутах.
2. Вырази полный оборот через неизвестное число градусов в одной угловой часовой единице и через неизвестное число градусов в одной угловой минутной единице.
3. Приравняй эти представления полного оборота для получения двух соотношений между единицами.
4. Выразите и через обычные градусы из полученной системы.

Подумай, на какой угол (в угловых часах) минутная стрелка поворачивается за один час реального времени.

Угловая скорость равна углу, пройденному за единицу времени: . Используй, что за 1 час минутная стрелка делает полный оборот, выраженный в угловых часах.

1. Запиши, чему равен угол, пройденный минутной стрелкой за 1 час в единицах .
2. Подставь этот угол в определение угловой скорости с час.
3. Выразите в единицах .

Сколько угловых минут содержится в одном угловом часе?

Воспользуйся тем, что за 60 временных минут часовая стрелка поворачивается на , и определением угловой скорости как отношения повёрнутого угла к интервалу времени.

1. Вспомни из пункта 1, как переводятся в .
2. Запиши, что за 60 минут стрелка проходит угол, равный .
3. Переведи этот угол в и раздели на 60 минут.
4. Вырази как получившийся угол в , делённый на минуту.

Нарисуй, как меняются углы обеих стрелок во времени: одна движется медленно, плавно нарастая и «обнуляется» после полного оборота, другая — быстро, представляя собой повторяющуюся наклонную линию в каждом интервале часа.

Запиши сначала незавёрнутые (без учёта обнуления) законы равномерного движения для каждой стрелки с соответствующими угловыми скоростями; затем применяй операцию «обнуления» (взятие дробной части, приведение к диапазону циферблата), чтобы получить периодические графики.

1. Запиши линейные зависимости углов без учета обнуления: , .
2. Определи, как применять функцию дробной части, чтобы отобразить любой угол в интервал значений циферблата (то есть убрать целые обороты).
3. Преобразуй каждую линейную функцию с помощью этой операции, получив периодическую функцию для каждого индивида.
4. Вырази искомые функции и через дробную часть от соответствующих линейных зависимостей и построй их графики за один период полного оборота часовой стрелки.

Нарисуй на одних осях линии, описывающие движение каждой стрелки в пределах одного часа: какая из них идёт круче, как выглядят эти отрезки? Подумай, сколько таких встреч может быть за двенадцатичасовой цикл.

Воспользуйся равномерностью движения: запиши углы стрелок как функции времени в пределах часа с номером n (часовая — как непрерывная линейная функция от времени, минутная — как линейная функция, начинающаяся в часе n и идущая с наклоном, равным угловому пройденному минутной стрелкой за один час). Приравняй эти две функции, чтобы получить уравнение на моменты совпадений внутри часа n.

1. Запиши для фиксированного целого n выражения для углов часовой и минутной стрелок в виде линейных функций времени (введи символ C для величины полного оборота, выраженной в тех же единицах углов).
2. Приравняй эти две функции и приведи полученное равенство к виду линейного уравнения относительно неизвестного времени t.
3. Реши алгебраически это линейное уравнение и получи выражение для моментов встречи t_n (в часах).
4. Выразите из полученной системы и переведи дробную часть часа в минуты.