Часы — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2019 9 класс № 2

1.1

1.1 Угол одного оборота равен , а также $час$ и $мин$ . Поэтому

$час$

$мин$

1.2

1.2 Приравнивая угол одного оборота в обеих единицах, получим

$мин час мин час час$

1.3

1.3 За 1 час минутная стрелка поворачивается на полный оборот, т.е. на $час$ , поэтому

$час час$

1.4

1.4 За 1 час (60 минут) часовая стрелка поворачивается на $час$ или, как следует из соотношения (3) на $мин$ , поэтому

$мин мин мин мин$

2.1

2.1 Так как стрелки движутся равномерно, то углы их поворота (без «обнуления») описываются традиционными формулами, описывающими равномерное движение:

Чтобы исключить полные обороты (провести «обнуление») удобно использовать функцию - дробная часть числа. С помощью этой функции можно провести «обнуление» любого угла (измеренного в $час$ ):

Тогда, с учетом численных значений угловых скоростей стрелок, можно записать

2.2

2.2 Графики законов движения и за один оборот часовой стрелки (т.е. за 12 часов) показаны на рисунке

2.3

2.3 В заданном диапазоне времени, закон движения часовой стрелки записывается просто

Для описания движения минутной стрелки удобней записать ее закон движения в течение каждого часа (начиная от часа ), который изображается наклонной прямой

Для определения моментов времени, когда стрелки часов совпадают, необходимо решить уравнение

Эти времена можно представить в виде . В этой записи: - время встречи (часы), а величину следует перевести в минуты. Эта добавка времени в минутах будет равна . Расчеты времен приведены в таблице.

n	Время встречи		n	Время встречи
	часы	минуты		часы	минуты
0	0	0	6	6	33
1	1	5	7	7	38
2	2	11	8	8	44
3	3	16	9	9	49
4	4	22	10	10	55
5	5	27	11	12	0

3.1

3.1 Часы будут отставать, так как на некоторый угол (определяющий показания часов) они повернутся за большее время.

3.2

3.2 Показания часов пропорциональны числу периодов колебаний. Пусть период колебаний исправных часов равен , тогда за время показания часов будут

где - некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от устройства часов. Для исправных часов показания часов равны истинному времени. За тот же промежуток истинного времени испорченные часы покажут

Тогда ошибка в показаниях часов будет равна

Подставим численные значения и вычислим
$мин$