Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.В данной задаче рассматривается растяжение цепочки, состоящей из одинаковых брусков и одинаковых пружинок, лежащих на горизонтальной поверхности вдоль одной прямой. Массы всех брусков равны
1.1 Цепочка состоит из двух брусков. В начальный момент времени бруски покоятся, пружина не деформирована. Какую минимальную постоянно действующую горизонтальную силу
Внимание! Далее (во всех частях задачи) будем рассматривать «квазистационарное» приближение:
приложенная сила изменяется очень медленно, так, что в любой момент времени ускорением брусков можно пренебречь, следовательно, в любой момент времени сумма сил, действующих на каждый брусок равна нулю. Пока не сдвинется последний брусок!
Какой по направлению и по величине должна быть сила, действующая на второй брусок, чтобы он сдвинулся с места? Нарисуй силы, действующие на второй брусок в момент до срыва со статики.
Запиши условие равновесия для второго бруска: чтобы он остался неподвижным, результирующая горизонтальная сила должна равняться нулю; сила упругости пружины при достижении предела равна максимальной силе трения покоя.
- Спроецируй силы на горизонтальную ось для второго бруска.
- При условиях срыва сила упругости пружины
уравновешивает максимальную силу трения и направлена в противоположную сторону. - Вырази деформацию пружины
через (через жёсткость ). - Выразите
(внешнюю силу), необходимую для создания такой силы в пружине, из полученной системы.
1.1 Чтобы сдвинуть с места второй брусок, к нему необходимо приложить силу равную максимальной силе трения покоя, т.е.
Такой силой может быть только силы упругости пружинки. Следовательно, ее необходимо растянуть на величину
Очевидно, что на такую же величину необходимо сместить первый брусок. Если к бруску приложить постоянную силу (превышающую силу трения), то он начнет двигаться ускоренно, по мере растяжения пружинки ускорение будет уменьшаться. После того, как сила упругости в сумме с силой трения превысит приложенную силу, брусок будет продолжать двигаться в том же направлении (по инерции) с уменьшающейся скоростью. Когда скорость бруска станет равной нулю, смещение бруска будет максимально. Именно в это момент смещение бруска должно стать равным величине, определяемой формулой (2). Для движения первого бруска запишем уравнение закона сохранения и превращения энергия: работа постоянной силы пойдет на увеличение потенциальной энергии пружины и работу против силы трения:
Из этого уравнения находим (с учетом формулы (2)):
Отметим, что эта сила меньше, чем суммарная сила трения, действующая на два бруска.
1.2 В системе, описанной в п.1.1, прилагаемая сила медленно возрастает от нуля. При каком значении этой силы сдвинется второй брусок? Чему будет равна деформация пружины в этот момент времени?
При медленном нарастании силы сначала начнёт сдвигаться первый брусок, а второй остаётся на месте до момента, когда сила упругости на втором достигнет предела. Подумай, какие силы действуют на первый брусок в квазистационарном режиме.
Применяй условие квазистационарного равновесия (сумма сил на каждом бруске равна нулю) и учти силу трения на каждом бруске; связь между силой в пружине и её деформацией — через жёсткость
- Запиши силу уравновешивания для второго бруска: сила упругости пружины должна равняться максимальной силе трения.
- Для первого бруска запиши равенство: приложенная сила равна сумме силы упругости и силы трения, действующей на первый брусок.
- Свяжи силу упругости со деформацией пружины через
и используй условие срыва второго бруска, полученное в первом пункте. - Выразите искомые величины: значение приложенной силы
при срыве второго и деформацию пружины из полученной системы.
1.2 Все предыдущие рассуждения, касающиеся второго бруска, остаются в силе. Теперь учтем, что в используемом приближении сумма сил, действующих на первый брусок, также должна равняться нулю. Следовательно, к нему должна быть приложена сила, равная сумме сил упругости и силы трения, т. е.
Деформация пружины в этом случае также определяется формулой (2).
2.1 При какой минимальной силе
Сфокусируйся на последнем (крайнем) бруске: какая сила со стороны цепочки действует на него в момент, когда он только начинает срываться?
В квазистационарном приближении запиши равновесие сил для каждого бруска и для всей цепочки (учти максимальную силу трения
- Для последнего бруска требуемая упругая сила равна величине его максимальной силы трения.
- Для среднего бруска записать, что сила в первой пружинке должна уравновесить силу во второй пружинке и силу трения среднего бруска.
- Для всей цепочки приложенная сила должна компенсировать суммарную силу трения всех брусков, связав её с силами в пружинках.
- Вырази
из полученной цепочки соотношений.
2.1 Последний брусок сдвинется, если на него подействует сила упругости
Этот же результат можно получить и другим, более простым способом. Рассмотрим цепочку целиком. Силы упругости являются внутренними силами для всей цепочки, поэтому они не влияют на ускорение центра масс (которое равно нулю). Поэтому сумма внешних сил также должна быть рана нулю. Поэтому прикладываемая сила должна быть равна суммарной силе трения, действующей на цепочку, т.е.
2.2 Постройте график зависимости суммарного удлинения цепочки
Как меняется число подвижных брусков по мере роста приложенной силы? Нарисуй схему этапов: какие бруски покоятся, какие скользят, и какие пружины растянуты на каждом этапе.
На каждом этапе применяй квазистационарное равновесие: для неподвижных брусков сила упругости в соседней пружине не передаётся дальше; для подвижных — равновесие между приложенной силой, упругими силами и трением. Связывай силы упругости с деформациями через
- Раздели процесс на этапы по числу сдвинувшихся брусков (все покоятся; сдвинулся только первый; сдвинулись первый и второй; сдвинулись все три).
- Для каждого этапа запиши выражение для сил в пружинах
в виде функций от и сил трения, а затем найдите соответствующие деформации через . - Составь суммарное удлинение
как функцию для каждого этапа; переведи в безразмерные переменные и для упрощения графика. - Выразите в полученных зависимостях узловые значения (значения
при переходах этапов) и постройте ломаную .
2.2 Рассмотрим движение по этапам. Для удобства все выкладки отразим в таблице. Величину силы выразим как
| Сила |
Сила |
Деформация |
Сила |
Деформация |
Суммарная деформация |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 этап: все бруски поятся | |||||
| 2 этап: сдвинулся первый брусок, второй и третий покоятся | |||||
| 3 этап сдвинулся второй брусок, третий покоится | |||||
Таким образом, искомая зависимость представляет собой ломаную линию, состоящую из прямолинейных отрезков. Значения координат в «узловых» точках (когда начинается движение очередного бруска) показаны в следующей таблице и на графике.
| 0 | 0 |
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 3 | 3 |
2.3 Покажите, что энергетический баланс «сходится». Рассчитайте энергию, поступившую в цепочку, укажите и рассчитайте количественно, на что израсходована эта энергия.
Куда идёт работа внешней силы, когда она медленно увеличивается? Подумай, какие виды энергии появляются в системе и какие потери имеют место.
Сумма работы внешней силы должна равняться сумме приращения потенциальной энергии пружин и работе против сил трения (теплоте). Пользуйся графиком
- Вычисли работу внешней силы как интеграл (или площадь под ломаной)
по сегментам, используя найденные в п.2.2 выражения для . - Найди потенциальную энергию пружин
, подставив конечные деформации каждой пружины. - Вычисли работу против трения
по найденным смещениям. - Выразите баланс энергии в форме
и сверяйся с численными значениями, используя данные и .
2.3 В рассматриваемую систему (цепочку) энергия поступает благодаря работе внешней силы
Часть этой энергии пошла на увеличение потенциальной энергии пружин. Деформация первой пружины равна
Часть энергии была израсходована на работу против сил трения (т.е. перешла во внутреннюю, тепловую энергию). Первый брусок сместился на расстояние
Таким образом, уравнение энергетического баланса
выполняется.
2.4 Найдите установившееся (после прекращения колебаний брусков) удлинение цепочки, если приложенная сила достигла значения
2.4 Так как внешняя сила заставила все бруски двигаться, то после прекращения колебаний все бруски будут двигаться с одинаковым ускорением равным
Для последнего бруска уравнение второго закона Ньютона имеет вид
Откуда следует, что
Из второго закона Ньютона для центрального бруска
Следует, что сила упругости первой пружины на
3.1 Найдите общую деформацию цепочки к моменту времени, когда сдвинется последний брусок.
3.1 Подробное рассмотрение предыдущих частей задачи показывает, что сила упругости последней пружинки равна
3.2 Найдите установившееся (после прекращения колебаний брусков) удлинение цепочки, если приложенная сила достигла значения
3.2 Из 2 закона Ньютона (см. п. 2.3) следует, что в данном случае деформация каждой цепочки возрастает на величину
Похожие задачи
Задача 9-2
Два одинаковых груза массой
Разминка
Данное задание состоит из двух несвязанных между собой задач.
Задача 1.1
Однородная доска массы
Вниз по ступенькам
В данной задаче вам предлагается рассмотреть движение вниз по ступенькам в различных вариантах. В скобках в пунктах задачи указаны величины, через …
У Р Б П ≈2/5 Т5
Задача 10-5
- В данной задаче рассматривается простая
модель воздействия ударной волны на тела. В
данной модели ударная волна рассматривается
как скачок …
Потери энергии
Двигатель тянет горизонтальную ленту транспортера с постоянной скоростью
Задача 10-1
Для описания упругих свойств веществ используются различные характеристики, одной из которых является модуль Юнга