1. При отклонении стержня на угол шарики опускаются на расстояние , поэтому изменение потенциальной энергии в поле тяжести равно
   
   Удлинение пружины оказывается равным
   
   Следовательно, потенциальная энергия пружины при ее растяжении () описывается функцией
   
   При сжатии пружины () потенциальная энергия пружины равна нулю.
   Таким образом, зависимость потенциальной энергии системы от угла отклонения имеет вид:
   
   Для удобства дальнейшего анализа этой функции, воспользуемся рекомендацией, данной в условии, для чего используем параметр . Для этого разделим выражение (4) на :
   
   Анализ этих графиков можно проводить различными способами:

• подсчитать значения функции численно;
• заметить, что данная функция является квадратичной функцией от , т.к. ;
• найти точки экстремумов и значения функции в крайних точках.

Результаты такого анализа показаны на рисунке.

1. Для того, чтобы в системе были возможны колебания, необходимо, что бы существовала точка минимума потенциальной энергии. Вертикальное положение стержня () является положением равновесия, но оно неустойчиво. При отклонении в отрицательную сторону стрежень падает. Что очевидно: пружина не может его отталкивать!

При Существует еще одно положение равновесия, но оно также неустойчиво. Это можно показать, если рассмотреть моменты сил, действующих на вертикальный маятник. Положению равновесия соответствует равенство модулей моментов силы тяжести и силы упругости :

Это уравнение можно переписать в виде

Из которого следует, что при , существует положение равновесия , помимо вертикального положения . Но как было отмечено ранее – это положение равновесия является неустойчивым, поэтому колебания возле него невозможны.

1. Если длина пружины больше расстояния между стержнями, то удлинение пружины будет равно

Поэтому уравнение равновесия (7) примет вид

1. Итак, положения равновесия существуют, если это уравнение имеет корни! Решить это уравнение аналитически затруднительно, поэтому поставим более простую задачу: найти условия, при которых корни существуют в интервале

Перепишем уравнение в более простой форме

Легко построить схематический график функции и несколько графиков функции при нескольких возрастающих значениях параметра . При уравнение (10) имеет очевидный корень ; при увеличении параметра тангенсоида приподнимается, но пересекает график функции ; при некотором критическом значении эти функции

касаются друг друга; наконец, при уравнение (10) корней не имеет. Для расчета критического значения нужно записать условия касания двух функций: в точке касания функции равны между собой, также равны их производные (для упрощения опустим знак «звездочки»):

Из второго уравнения находим, что , подставляя в первое уравнение, после несложных преобразований получим,

Таким образом, точка касания задается условием

Тогда критическое значение параметра равно

Таким образом, колебания маятников возможны при

Отметим, что при масса шаров равна нулю, поэтому колебания невозможны.

1. Легко показать, что положению устойчивого равновесия соответствует меньший корень уравнения (10), поэтому вблизи этого положения возможны колебания стержней.

2. При заданном значении можно использовать приближенный формулы для тригонометрических функций в этом случае уравнение (9) линеаризуется

Решение которого находится элементарно:

1. Рассмотрим силы, действующие на шарик: это сила тяжести и сила , действующая со стороны стержня. Так масса стержня пренебрежимо мала, то сумма моментов сил, действующих на стержень, равна нулю. Следовательно, со стороны шарика на стержень действует сила в 2 раза меньшая силы упругости и направленная противоположно ей. Поэтому на шарик (третий закон Ньютона!) действует сила в 2 раза меньшая силы упругости и сонаправленная с ней.

В проекции на ось , касательную к траектории, уравнение второго закона Ньютона имеет вид:

Полагая углы малыми, получим уравнение

Которое является уравнением гармонических колебаний с периодом

1. Колебания возможны, если маятник не попадет в область . Следовательно, амплитуда колебаний не должна превышать значение угла, соответствующее положению равновесия, т.е.