Молекулярный вибратор, управляемый электрическим полем

Условие

Учебно-тренировочные сборы 2023 старшая группа № 3

Данное задание разработано на материалах обзорной статьи:
Synergy of physical properties of low-dimensional carbon-based systems for nanoscale device design/ N. A. Poklonski, S.A. Vyrko, A. I. Siahlo, O. N. Poklonskaya, S. V. Ratkevic, N. N. Hieu, A. A. Kocherzhenko/ Matter. Res. Express, 6 (2019).

На рисунке, взятом из указанной статьи, показана схема вибратора, управляемого электрическим полем. Сложная плоская молекула (показанная на рисунке слева) содержит атом олова (Sn). Этот атом может колебаться в направлении, перпендикулярном плоскости молекулы. Частота этих колебаний может изменяться под действием электрического поля. Строгий расчет характеристик молекулярных колебаний возможен только с помощью квантовой механики.

Однако наиболее характерные особенности движения этого атома могут быть получены и в рамках классической физики. Для этого рассмотрим следующую упрощенную модель рассмотренного вибратора.

Шарик массы (моделирующий атом олова Sn) соединен с 4 одинаковыми пружинами (моделируют химические связи атома олова с соседними атомами). Жесткость каждой пружины , их длины в недеформированном состоянии равны . Противоположные концы пружин закреплены в вершинах квадрата. Когда шарик находится в центре квадрата, пружины не деформированы. Шарик может двигаться вдоль прямой, перпендикулярной плоскости квадрата. Направим ось координат вдоль этой прямой, начало отсчета совместим с центром квадрата.

На расстоянии от центра квадрата закреплен точечный заряд , который моделирует заряд на острие зонда микроскопа (microscope probe).

Симметрично плоскости квадрата закреплен электрический заряд

, который моделирует заряд-изображение в проводящей плоскости (grapheme substrate). В атомной физике силой тяжести следует пренебрегать.
В данном задании анализируется движение шарика вдоль указанной оси

. Радиус шарика значительно меньше геометрических величин

При выполнении данного задания рекомендуем использовать приближенную формулу

Эта формула справедлива для малых значений безразмерной величины и любого показателя степени *. Каждый раз при использовании этой формулы подумайте, сколько слагаемых следует оставлять для дальнейших преобразований.*

Часть 1. Силы упругости.

Пусть шарик смещается на расстояние от центра квадрата.

1.1 Найдите зависимость суммарной силы упругости , действующей на шарик со стороны 4 пружин, от смещения шарика .
Напоминаем, что, когда шарик находится в центре квадрата, пружины не деформированы!

1.2 Покажите, что при формулу для суммарной силы упругости можно приближенно представить в виде

Найдите значения постоянных величин в этой формуле.

1.3 Укажите, будут ли колебания шарика при отсутствии электрического поля гармоническими?

Часть 2. Электрическое поле и электрические силы.

Электрическое поле создается двумя точечными зарядами

, расположенных на оси

симметрично относительно начала отсчета, в точках с координатами

2.1 Найдите зависимость модуля напряженности электрического поля на оси от координаты . Постройте схематический график этой зависимости.
В дальнейшем вместо координаты шарика используйте безразмерную величину . При малых значениях , полученную зависимость с помощью приближенной формулы (1) можно представить в виде

где - напряженность поля в начале координат, - численные коэффициенты. В этой формуле следует оставить столько слагаемых, сколько потребуется для дальнейших расчетов.

Старшая лига. Теоретический тур. Условия задач. 8

2.2 Выразите значение через значения . Рассчитайте значения коэффициентов

В дальнейшем считайте величину известной. В дальнейших расчетах используйте только приближенную формулу (3) с найденными численными коэффициентами.

Под действием электрического поля напряженности шарик поляризуется и приобретает дипольный момент, модуль которого равен

где - поляризуемость шарика (считайте ее известной), - электрическая постоянная.

Со стороны электрического поля на электрический диполь действует сила

2.3 Найдите зависимость силы , действующей на шарик со стороны электрического поля, от положения шарика .

2.4 Представьте полученную зависимость в приближенной виде

где - значение функции при . Выразите значение через величины . Найдите численные значения коэффициентов . Оставьте в этой формуле столько слагаемых, сколько необходимо для дальнейших расчетов.

Часть 3. Колебания шарика.

3.1 Представьте зависимость силы упругости от положения шарика (2) в виде

где - значение функции при . Выразите значение через заданные параметры модельной системы.

При включении электрического поля положение равновесия шарика смещается. Обозначим координату положения равновесия

3.2 Выразите значения координаты положения равновесия через параметры системы и .

3.3 Найдите максимальное значение напряженности электрического поля в начале координат , при котором шарик может совершать колебания.

3.4 Рассчитайте частоту малых колебаний шарика вблизи положения равновесия , если напряженность электрического поле в начале координат . Выразите значения частоты через параметры .

Нужна подсказка? →

Условие

Похожие задачи